Simplificación de una combinación de 6 valores de la función gamma

Question

Estoy tratando de simplificar esta combinación de funciones gamma: $$\frac{\Gamma\left(\frac{2}{25}\right)\Gamma\left(\frac{7}{25}\right)\Gamma\left(\frac{12}{25}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{5}\right)\Gamma\left(\frac{3}{25}\right)\Gamma\left(\frac{8}{25}\right)} traté de aplicar la fórmula de multiplicación de Gauss, como se hizo en esta respuesta, pero sin éxito. ¿Es posible simplificar esta expresión en todos?

Answer 1

El uso de la Multiplicación de Gauss Fórmula, que es demostrado en esta respuesta, $$\Gamma\left(\frac2{25}\right)\Gamma\left(\frac{7}{25}\right)\Gamma\left(\frac{12}{25}\right)\Gamma\left(\frac{17}{25}\right)\Gamma\left(\frac{22}{25}\right)=4\pi^25^{1/10}\Gamma\left(\frac25\right)$$ El uso de los Euler Reflexión Fórmulacomprobada, al final de esta respuesta, $$\Gamma\left(\frac3{25}\right)\Gamma\left(\frac{22}{25}\right)=\frac\pi{\sin\left(\frac{3\pi}{25}\right)}$$ y $$\Gamma\left(\frac8{25}\right)\Gamma\left(\frac{17}{25}\right)=\frac\pi{\sin\left(\frac{8\pi}{25}\right)}$$ Poniendo a estos en conjunto, se consigue $$\frac{\Gamma\left(\frac2{25}\right)\Gamma\left(\frac{7}{25}\right)\Gamma\left(\frac{12}{25}\right)}{\Gamma\left(\frac25\right)\Gamma\left(\frac3{25}\right)\Gamma\left(\frac8{25}\right)}=4\cdot5^{1/10}\sin\left(\frac{3\pi}{25}\right)\sin\left(\frac{8\pi}{25}\right)$$

Answer 2

Con Arce, obtener

${\frac {{5} ^ {1/10} \left (2\, \cos \left ({\frac {8\, \pi} {25}} \right) +2\, \cos \left ({\frac {4\, \pi} {25}} \right) +1 \right)} {2\; \cos \left ({\frac {6\, \pi} {25}} \right) +2\; \cos \left (\frac{\pi}{5} \right)}}$$