Homología singular: ¿tomar todos los mapas posibles?

Question

Estoy leyendo homología singular en Hatcher. Sea $X$ sea un espacio topológico. Dejamos que $C_n(X)$ ser generado por singular $n$ -simplicidades $\sigma:\Delta^n\to X$ .

Lo que no entiendo es, ¿qué colección de $n$ -¿qué simplicidad queremos? ¿Tomamos todos los mapas distintos posibles $\Delta^n\to X$ ? Digamos que estoy mapeando $3$ -simplicidades en el espacio $X=\Delta^3$ ¿No tengo incontables opciones de mapas?

Puedo ver de esta manera por qué el espacio de puntos tiene un único singular $n$ -celda para cada $n$ ya que debemos mapear cada simplex al punto, si estamos tomando todos los mapas posibles.

Answer 1

Históricamente homología de grupos se definieron por primera vez para simplicial complejos que son puramente combinatoria entidades. Ver, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_complex y https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_homology.

Consideremos el ejemplo de $\Delta^3$. Obtenemos un generador de la no-orientado simplicial complejo de cadena en la dimensión $3$ resp. dos generadores de la orientada a simplicial complejo de cadena en la dimensión $3$. Este es un método muy eficaz para asociar los complejos de la cadena y la homología de grupos simplicial complejos.

¿Cuál es la relación entre espacios topológicos y simplicial complejos? Cada simplicial complejo de $K$ tiene una realización geométrica $\lvert K \rvert$ que es un espacio topológico que consiste en Euclidiana simplices que son convexas de los cascos de los puntos en posición general en algunos $\mathbb{R}^n$ (cada combinatoria $n$-simplex, que es un conjunto finito de vértices se realiza como un Euclidiana simplex, y estos Euclidiana simplices, se pegan por el correspondiente combinatoria de las incidencias de las caras). Pero, ciertamente, no todos los espacios es la geométrica realización de simplicial complejo. Por otra parte, dos personas que no son isomorfos simplicial complejos pueden tener homeomórficos geométricas realizaciones - son sus homología de grupos isomorfos ("la invariancia topológica de homología simplicial")? Se descubrió que esta pregunta no puede ser contestada por puramente combinatoria métodos. Este fue el origen de la homología singular. Un singular simplex en un espacio de $X$ es cualquier mapa de $\sigma : \Delta^n \to X$. En general, esto produce una cantidad no numerable de singular simplices (incluso para el más simple de los espacios). La resultante de los complejos de la cadena son muy grandes, pero si usted va a la homología de grupos de la talla de forma masiva colapsa. De hecho, el singular de la homología de grupos de la realización geométrica $\lvert K \rvert $ de un complejo simplicial $K$ son isomorfos a la homología simplicial grupos de $K$. Esto demuestra la invariancia topológica de homología simplicial y proporciona un método eficaz calcular la homología de grupos de poliedros (espacios de $X$ que han triangulaciones, es decir, admitir un homeomorphism $h ; X \to \lvert K \rvert$ donde $K$ es simplicial complejo).

Singular homología es excelente porque es conceptualmente simple. Se define para cualquier espacio sin referirse a los adicionales de los componentes estructurales (que, normalmente, no se determina únicamente por el espacio en sí mismo, ver, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Hauptvermutung), incluso el principiante entender fácilmente y topológica de la invariancia es evidente a partir de la definición (que es por eso que hacemos todo singular simplices y no elegir un "menor" surtido). Sin embargo, es prácticamente imposible calcular la homología singular grupos basados en la definición de la singular complejo de cadena. Pero homología singular satisface la Eilenberg–Steenrod axiomas https://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg%E2%80%93Steenrod_axioms y podemos calcular un montón de homología de grupos utilizando sólo estos axiomas. Ver todos los libros sobre la topología algebraica. El Eilenberg–Steenrod axiomas determinar la homología de las teorías sobre finito de CW-complejos de forma exclusiva (hasta el isomorfismo natural) por su coeficiente de grupos de $H_0(\ast)$ (donde $\ast$ es un punto en el espacio). En el caso de la norma singular de homología de la teoría, hemos $H_0(\ast) \approx \mathbb{Z}$, que es uno de los pocos casos donde un efectivo de la computación es posible.

Mi opinión es que el propósito principal de homología singular es el de establecer la existencia de una homología teoría que satisface la Eilenberg–Steenrod axiomas y se define para todos los espacios topológicos. Hay un montón de otras construcciones, pero no son más sencillos y algunos se definen únicamente en ciertas clases de espacios. El material de las distinciones entre las diversas construcciones se dio a conocer sólo en espacios que no son finitos CW-cmplexes y, a continuación, se hace evidente que hay una homología de las teorías que se realice mejor que la homología singular.