¿Por qué hemos introducido álgebra lineal?

Question

Soy nuevo en álgebra lineal y estoy tratando de encontrar la motivación detrás de la definición de tal manera, y la necesidad de definir. Para el estudio de $2$D,$3$-D espacio hemos geometría, de modo que ¿por qué necesitamos de álgebra lineal, entonces?

¿Por qué elija el exacta de las propiedades que un espacio vectorial debe tener? No he encontrado ninguna respuesta satisfactoria. Los libros de texto inicia directamente con la teoría.

Puede alguien explicar por favor?

Edit: "¿por Qué estudiar álgebra lineal?" es diferente de la de mi pregunta. Esa pregunta la necesidad de las aplicaciones de álgebra lineal, ya sé que y hay muchas fuentes para responder a esa pregunta. Lo que necesito está en el fondo de introducción al álgebra lineal, no solo de la historia, también la motivación detrás de la elección de las propiedades que deben ser satisfechos para ser un espacio vectorial - ¿por qué no extra por qué no? Se toma extra o menos la condición de dar algo que no es muy útil? Por favor explique.

Answer 1

Los libros de texto acerca de álgebra lineal están tratando de introducir un tema, que es el resultado de muchos años de una comprensión profunda de muchas ramas de las matemáticas, en el sentido de que el álgebra lineal es el natural de la cama común para las construcciones matemáticas que fueron antes no relacionadas. Un libro nunca podría cubrir un área tan enorme en un capítulo de introducción. Un salvaje y audaz analogía en otro campo se podría preguntar: ¿por qué la gente inventó la gramática, mientras que nosotros ya teníamos un entendimiento informal de simpatia?

Supongo que algunos podrían seguimiento de álgebra lineal de vuelta a la invención del cálculo infinitesimal por Leibniz y Newton. Al derivar una función en algún punto, se obtiene la pendiente de la tangente de la curva en este punto: esta línea tangente es una aproximación de la función alrededor del punto. Esta aproximación es útil porque es fácil de calcular. Pero lo que si quiero hacer lo mismo para una función multivariable? Entonces he derivadas parciales, pero son sólo una aproximación "en una dirección", tomado por separado. Si desea una aproximación de su función multivariable "en todas las direcciones en uno", usted necesita encontrar una manera de poner todos estos parcial aproximación juntos. Que es lo que formalizar álgebra lineal, y más precisamente lineal mapas lineal entre espacios vectoriales.

Answer 2

Además de las otras respuestas y comentarios:

• álgebra lineal permite tener una intuición geométrica con cosas que no son, naturalmente, geométrico. Por ejemplo, con el álgebra lineal, se puede tratar con espacios de polinomios, funciones... y puede aplicar los mismos razonamientos con polinomios, funciones... en estos espacios, más o menos, como si se tratara de vectores en $\Bbb R^n$. Que explica la primera dificultad en álgebra lineal: la definición de un espacio vectorial es bastante abstracto a primera vista. Pero es precisamente que la abstracción que explica el gran poder de álgebra lineal (y es a menudo el caso de las matemáticas en general), porque es que la abstracción que permite aplicar el mismo idioma y la misma teoremas tan diferentes objetos matemáticos.

• en consecuencia, el álgebra lineal es la parte de la lengua común de todos los matemáticos. Es muy frecuente escuchar, en un nivel superior, de que algo "es simplemente álgebra lineal" para decir que lo que sigue no debe ser fácil para cualquier matemático escuchando esta conversación.

Por otra parte, y más sencilla que la de otros de los puntos que he mencionado: necesitamos más de 2 o 3 dimensiones! Muchos ejemplos:

• en la física cuando se agrega el tiempo como una 4ta dimensión y algunas avanzadas teorías como la teoría de cuerdas utilizar al menos 10 dimensiones (!) para describir la realidad

• en el análisis funcional, el objetivo es el estudio de los espacios de funciones (por ejemplo, los espacios de funciones continuas en un intervalo, o diferenciable, o integrable, o soluciones de una forma particular de la ecuación diferencial o de la PDE), que incluso puede tener un número infinito de dimensiones!

• en las estadísticas, puede que necesite más para el estudio de 2 o 3 variables debido a que en la vida real, un mismo fenómeno puede depender mucho más de 2 o 3 parámetros (por ejemplo, el clima puede depender de la temperatura, la velocidad del viento, presión, precipitaciones, humedad,...), o puede que desee comparar más de 2 o 3 parámetros (por ejemplo, comparar la tasa de desempleo en 20 países diferentes).

Answer 3

Esta parte del artículo de Wikipedia sobre el álgebra lineal es bonito:

• Desde el estudio de los determinantes y matrices para la moderna álgebra lineal

Es sobre todo acerca de comenzar con el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y continúa con el desarrollo de la notación de matriz hasta la definición axiomática de espacios vectoriales.

Otra línea es la geometría analítica, o el vector de la geometría, la combinación de álgebra y geometría. Véase, por ejemplo:

• Analytische Geometrie - Geschichte

Nicolas Bourbaki fue un paso más allá: se omite términos geométricos como puntos, líneas, etc. y el pensamiento con el tratamiento de álgebra lineal todo lo necesario que se dijo.

Combinado con el cálculo se llega al cálculo vectorial, por ejemplo, ver:

• Cálculo vectorial

Una extensión importante de que se va hacia infinito número de dimensiones que son:

• Espacios de Hilbert

Una extensión con desigualdades lineales lleva a la importancia económica

• Programación lineal