Resolver

Question

La pregunta dice que para encontrar el valor de $x$ si $$2^x\Bigl(2^x-1\Bigl) + 2^{x-1}\Bigl(2^{x-1} -1 \Bigl) + .... + 2^{x-99}\Bigl(2^{x-99} - 1 \Bigl)= 0$$
Mi planteamiento:
Reescribí la expresión, $$2^x\Bigl(2^x-1\Bigl) + \frac{2^x}{2}\Bigl(\frac{2^x}{2} -1 \Bigl) + .... + \frac{2^x}{2^{99}} \Bigl(\frac{2^x}{2^{99}} - 1 \Bigl)= 0$$ Entonces tomé $\bigl(2^x\bigl)$ común y lo escribió como, $$2^x \Biggl[ \Bigl(2^x - 1\Bigl) + \frac{1}{2^1}\Bigl(2^x -2^1\Bigl) + \frac{1}{2^2}\Bigl(2^x - 2^2\Bigl) + \;\ldots + \frac{1}{2^{99}} \Bigl(2^x - 2^{99}\Bigl)\Biggl] = 0$$ Después de simplificar aún más los que yo tengo, $$\frac{2^x}{2^{99}} \Biggl[ \Bigl(2^x\cdot2^{99} - 2^{99}\Bigl) + \Bigl(2^x \cdot 2^{98} - 2^{99}\Bigl) + \ldots + \bigl(2^x -2^{99}\bigl)\Biggl] = 0$$ Tomando $-2^{99}$ común que yo tengo, $$-2^x \Biggl[ \Bigl( 2^{x+99} + 2^{x+98} + \ldots + 2^{x+2} + 2^{x+1} + 2^x \Bigl)\Biggl]= 0$$ Ahora el interior puede ser expresado como $$\sum ^ {n= 99} _{n=1} a_n$$ Where $a_n$ son los términos de la GP.
Así, podemos ver que tanto $$-2^x= 0$$ Or, $$\sum ^ {n= 99} _{n=1} a_n = 0$$ Desde la primera condición no es poossible, por lo tanto, $$\sum ^ {n= 99} _{n=1} a_n = 0$$ Así, $$2^{x + 99} \Biggl(\frac{1-\frac{1}{2^{100}}}{1-\frac{1}{2}} \Biggl) = 0$$ De cualquier manera, una vez voy a resolver esto, yo no soy de obtener una respuesta que es, incluso en las opciones. Todas las respuestas están en la forma de expresiones logarítmicas.

Cualquier ayuda se agradece. Tenemos que encontrar el valor de $x$.

Answer 1

ps

$$2^x\Bigl(2^x-1\Bigl) + 2^{x-1}\Bigl(2^{x-1} -1 \Bigl) + .... + 2^{x-99}\Bigl(2^{x-99} - 1 \Bigl)= $ $$$2^{2x}-2^x + 2^{2x-2}-2^{x-1} + .... + 2^{2x-198}-2^{x-99}= $ $$$(2^{2x}+ 2^{2x-2} .... + 2^{2x-198})-(2^x +2^{x-1} + .... + 2^{x-99})= $ $$$2^{2x-198}(2^{198}+ 2^{196} .... + 2^{0})-2^{x-99}(2^{99} +2^{98} + .... + 2^{0})= $ $

Si cancelamos esto con$$2^{2x-198}{2^{200}-1\over 2^2-1} -2^{x-99}{2^{100}-1\over 2-1}=0 $ obtenemos

$2^{x-99}(2^{100}-1)$ $ So$$2^{x-99}{2^{100}+1\over 3} -1=0 $$$2^{x-99} = {3\over 2^{100}+1}$$ and thus $ $

Answer 2

Insinuación.

$$ 2 ^ {2x} \ sum_ {k = 0} ^ {99} 2 ^ {- 2k} = 2 ^ x \ sum_ {k = 0} ^ {99} 2 ^ {- k} $$

por lo tanto

$$ 2 ^ x = \ frac {\ sum_ {k = 0} ^ {99} 2 ^ {- k}} {\ sum_ {k = 0} ^ {99} 2 ^ {- 2k}} = 1.5 \ to x = 0.5849625007211562 $$

Answer 3

Desde cero, la cantidad que está mirando es$$\sum_{k=0}^{99} 2^{2(x-k)}-2^{x-k}=4^x\sum_{k=0}^{99}4^{-k}-2^x\sum_{k=0}^{99}2^{-k}=4^x\cdot\frac{4^{-100}-1}{-\frac34}-2^x\frac{2^{-100}-1}{-\frac12}=\\=2^x\left(2^x\cdot \frac{4-4^{-99}}{3}-2+2^{-99}\right)$ $

Esa cantidad es$0$ if y ony si$$2^x=\frac{3\cdot 2}4\cdot\frac{1-2^{-100}}{1-4^{-100}}=\frac{3}{2(1+2^{-100})}\\ x=\frac{\ln 3-\ln(1+2^{-100})}{\ln 2}-1$ $

Answer 4

\begin{align} 2^x\Bigl(2^x-1\Bigl) + 2^{x-1}\Bigl(2^{x-1} -1 \Bigl) + .... + 2^{x-99}\Bigl(2^{x-99} - 1 \Bigl) &= 0 \\ \sum_{i=0}^{99}2^{x-i}\left(2^{x-i}-1\right) &= 0 \\ \sum_{i=0}^{99}\left[\left(2^{x-i}\right)^2-2^{x-i}\right] &= 0 \\ \sum_{i=0}^{99}\left(2^{x-i}\right)^2-\sum_{i=0}^{99}2^{x-i} &= 0 \\ \sum_{i=0}^{99}2^{2x-2i}&=\sum_{i=0}^{99}2^{x-i} \\ \dfrac{2^{2x}}{\sum_{i=0}^{99}2^{2i}}&=\dfrac{2^{x}}{\sum_{i=0}^{99}2^{i}} \\ 2^x&=\dfrac{\sum_{i=0}^{99}2^{2i}}{\sum_{i=0}^{99}2^{i}} \\ &= \dfrac{4^{100}-1}{4-1}\cdot\dfrac{2-1}{2^{100}-1} \\ &= \dfrac{4^{100}-1}{3\left(2^{100}-1\right)}\\ x &= \log_2\left(\dfrac{4^{100}-1}{3\left(2^{100}-1\right)}\right) \end{align}

Answer 5

Aquí, olvidaste rojo:

ps