How do I solve this problem.

Question

La pregunta va, resolver en número real.

$x^5 - 5 x^3y - 5x^2 + 5xy^2 + 5y = 16 \tag{1}$

$ y^5 + 5xy^3 + 5y^2 + 5x^2y + 5x = -57 \tag{2}$

He intentado simplificar la primera ecuación a, $$ x^5 + 5\left[ \left(xy+1 \right) \left( y - x^2 \right) \right] = 16 $ $

y la segunda ecuación a, $$ y^5 + 5 \left[ \left(xy+1 \right) \left( y^2 + x \right) \right] = -57$ $

Sé no mucho esfuerzo demostrado, pero es que estoy atrapado. ¿Alguno consejos sobre dónde ir desde aquí?

Gracias

Answer 1

COMENTARIO.- Parece que Batominovski comentario acerca de $(1,-2)$ es cierto. Uno ha $$x^5+5(xy+1)(y-x^2)=16\\y^5+5(xy+1)(y^2+x)=-57$$ a partir De la cual $$\frac{y^2+x}{y-x^2}=\frac{y^5+57}{x^5-16}\qquad(1)$$ Una condición necesaria para soluciones de $(x,y)$ igualdad $(1)$. Sin embargo no es suffisant porque si no sería una infinidad de soluciones. Hacer por separado

$$\frac{y^2+x}{y-x^2}=a\qquad(2)$$ $$\frac{y^5+57}{x^5-16}=a\qquad(3)$$ we have in $(2)$ a conic, hyperbola, ellipse, circle ($a=1$) and two lines ($un=-1$) while in $(3)$ there is a quintic.The corresponding graphics are suggestive in order to search solutions. In any case the graphics of the given equations (in the attached figure green and black respectively) also give $(1,-2)$ como probablemente la única solución real.

Answer 2

Sumando estas dos ecuaciones que terminó en un plazo bastante simétrico

$$x^5+y^5+5[(1+xy)(y+x)(y-x+1)]~=~-41$$

También recomiendo utilizar el hecho de que puede escribir cualquier $(x+y)^n$ solamente en términos de $xy$ y $(x+y)$ y el % de dos $x^n,y^n$, como

$$(x+y)^3~=~x^3+y^3+3xy(x+y)$$

Tal vez alguien puede continuar allí de forma.