Ejemplo de una secuencia de funciones en la que no se puede intercambiar el límite

Question

Poner un ejemplo de una secuencia de funciones continuas $f_n$ en $[0,1]$ con $f_n$ converge puntualmente a una función continua $f$ tal que la siguiente relación no se cumpla:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow 0} f_n(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$$

Sé que dicha convergencia no es uniforme. Ya lo he intentado con este: $f_n(x)= 2nx e^{-nx^2}$ . En realidad, ésta satisface la condición límite dada, ¡aunque la convergencia no es uniforme! ¿Alguna pista?

Answer 1

Dado que todos los $f_n$ son continuos tenemos $\lim_{x\to0} f_n(x) = f_n(0)$ y como $f = \lim_{n\to\infty} f_n$ también es continua tenemos $\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$ .

Así que su relación se reduce a $\lim_{n\to\infty} f_n(0) = f(0)$ lo cual es cierto porque $f_n \to f$ en el sentido de la palabra.