¿Cómo podemos identificar un conjunto es infinito cuando se prueba el teorema de Bolzano-Weierstrass?

Question

Estoy probando la de Bolzano–Weierstrass teorema. Dice

$$ \text{Si } \text{ : delimitada y conjunto infinito}, \text{ entonces } \text{ tiene al menos un punto límite.} $$

Así que la prueba va como la siguiente.

Desde $A \subset \mathbb{R}^N$ es acotado, puede ser un subconjunto de un cuadro de $B_1 = I_1 \times \cdots \times I_N$ donde $I_i$ es un intervalo en $\mathbb{R}$. Vamos a dividir el $B_1$ a $2^N$ sub-cuadros. Entonces, al menos un sub-cuadro de los infinitos elementos de $A$. Digamos que el sub-cuadro de $B_2$. Digamos que podemos repetir este procedimiento para $B_3, B_4, \ldots$

Bien, por lo que la prueba termina cuando probamos algunos de los $x$ existe en $\cap_{n=1}^{\infty}B_n$ y es un punto límite de $A$.

Pero lo que me pregunto es, ¿cómo podemos identificar el $B_2$? (e $B_3$, y así sucesivamente)

Sí, para mí es claro que tales conjunto existe, pero la existencia no es garantía de identificar el conjunto (es decir, para seleccionar y etiquetar como $B_2$), ya que no tenemos las herramientas para discernir si $B_2$ es infinito o no.

Suena un poco filosófico, pero hay alguien para ayudar?

Answer 1

No es de extrañar que no hay manera constructiva para identificar, en cada etapa, que de la $2^n$ cajas contiene una infinidad de puntos-porque, desde el principio, la premisa de que el teorema asume nada sobre donde los puntos son: sólo sabemos que hay infinitamente muchos de ellos. Así pues, hay al menos continuo-muchas posibilidades de cómo los puntos que podrían ser distribuidos. Todo lo que podemos hacer es la lógica de la observación de que, en cada etapa, las cajas que no todos los titulares de un número finito de puntos, y por lo tanto al menos uno de ellos tiene un número infinito. Si tenemos que identificar que un cuadro puede ser, podría ser capaz de hacerlo si nos dieron una construcción precisa de $A$; pero se nos da ninguna información.

Answer 2

Parece que usted entiende por qué en menos de una caja que contiene una infinidad de elementos de $A$, y su dificultad es sólo en la búsqueda de que es una caja (o la búsqueda de uno de esos recuadro si hay varios de ellos). Es decir, es una cuestión de existencia frente a encontrar. Observe, sin embargo, que el teorema de que estás demostrando dice sólo que no existe un punto límite. Ella no dice nada acerca de encontrar un punto límite.

Para demostrar la existencia de un punto límite, es suficiente la existencia de un cuadro apropiado en cada etapa del proceso.

Si quería probar un fuerte teorema de decir que uno puede encontrar un punto límite, entonces usted tendría que preocuparse por encontrar un cuadro que corresponda en cada etapa. Cualquier supuesta teorema de ese tipo tendría que ser precedido por la información acerca de (1) exactamente cómo el conjunto $A$ se presenta y (2) exactamente lo que significa "encontrar" un punto. De modo que tal teorema no sólo sería más difícil de probar, pero bastante más complicado que el de Bolzano-Weierstrass teorema.

Answer 3

De hecho, es una cuestión filosófica. Las "paradojas del infinito" han intrigado a la gente desde tiempos antiguos. En 1851 Bolzano mismo ha escrito un libro con el título de "Paradoxien des Unendlichen" (en inglés "Paradojas del Infinito").

En su prueba de comenzar con un conjunto infinito $A$. Pero ¿cómo se puede saber que es infinito? Es dado explícitamente por el listado de sus elementos? En términos generales vamos a entender por "listado" cualquier regla que le permite decidir si un determinado elemento $x$ pertenece a $A$ o no.

Si usted tiene un listado, entonces usted será capaz de identificar las $B_2, B_3, ...$. Si no, usted ni siquiera son capaces de identificar a $A$. En este caso, es posible argumentar que en un nivel abstracto: Si pones una infinidad de cosas en un número finito de cuadros, de al menos un cuadro debe contener una infinidad de cosas. Imaginar una "persona" ha puesto las cosas en las cajas, pero no ver el proceso. Entonces no sabrá que la caja contiene una infinidad de cosas, pero usted sabe que al menos una caja debe contener una infinidad de cosas. Si no te gusta a considerar "infinitamente muchas cosas", también se puede considerar la $10$ cosas en $2$ cajas: Usted sabe que al menos uno debe contener $5$ cosas o más, pero no sabe de qué cuadro. Es similar al juego de la cáscara: Usted sabe que la pelota se coloca debajo de una de las conchas, pero que apuesta por debajo de lo que?