¿Qué cambia para álgebra lineal sobre un campo finito?

Question

Esta pregunta pide que el estándar de los resultados de álgebra lineal sobre un campo ya no se mantienen cuando podemos generalizar la estructura algebraica de los escalares a ser una división arbitraria del anillo.

Mi pregunta es similar pero se considera una menos drástica de generalización. En los cursos elementales de álgebra lineal, el campo subyacente es prácticamente asumido siempre, ya sea el real o el de los números complejos. (Tal vez una vez en una luna azul, los racionales.) Como tal, todo lo que mi intuición es infinito campos. Por otra parte, sé que los campos de la característica 2 son especialmente problemáticos.

1. Que los teoremas de álgebra lineal ya no se cuando vamos a partir de un infinito campo de un campo finito de característica mayor que 2?

2. Que más teoremas romper (trivial) cuando vamos de carácter mayor que 2 de característica 2?

Answer 1

Este es un lugar aproximados visión general de lo que las generalizaciones pueden ser explorados en un primer curso de álgebra lineal.

La respuesta corta es que todo lo que no uso el hecho de que $\Bbb R$ es ordenado, $\Bbb C$ tiene una norma, o que $\Bbb C=\Bbb R[i]=\overline{\Bbb R}$ realiza de forma idéntica a todos los campos y puede, en principio y de hecho, ser enseñado directamente como "álgebra lineal", en lugar de "$\Bbb R$o$\Bbb C$ álgebra lineal". Más específicamente

1. Todas las cosas que son realmente lineal, como base, matricial representaciones finitas espacios dimensionales, dual y bi-dual, la eliminación Gaussiana, determinantes, Rouché-Capelli teorema de llevar en forma literal o con muy obvio ajustes.

2. Los resultados alrededor de la forma normal de Jordan permanecer sin cambios durante algebraicamente cerrado campos. Fenómenos como la "verdadera forma normal de Jordan", sin embargo, el uso fuertemente el hecho de que $\dim_{\Bbb R}\Bbb C=2$, y necesita ser fuertemente modificado para ser generalizados a otras extensiones (que casi siempre son de un grado infinito) en una manera interesante.

3. La "teoría de la real interno de productos en finitely espacios dimensionales" es generalizada por la teoría de las formas cuadráticas, y es muy interesante, incluso como parte de un curso inicial. Se estudia la bilineal simétrica y mapas de $\phi:k^n\times k^n\to k$. Hay una generalización de la noción de ortogonalidad, de adjuntos, de los degenerados cuadráticas formas, ortogonal de mapas (a veces llamado isometrías). Las principales diferencias giran en torno al hecho de que:

   • $\Bbb R$ es ordenado, y por lo tanto existe una noción de signo positivo y la certeza de que puede ser utilizado para controlar/distinguir un montón de cosas. Para un campo general, la única cosa que se puede controlar es la presencia de vectores $v$ tal que $\phi(v,v)=0$ (isotrópica vectores) y/o que $\phi(v,w)=0$ todos los $w$ (ortogonal a todo el espacio). Esto se refleja en la terminología y la elección de la "forma canónica". Si usted desea rápidamente gage el sabor de ella, eche un vistazo a estos resultados de Witt.

   • Los campos de la característica $2$, e $\Bbb F_2$, especialmente, la necesidad (si hay alguna) un tratamiento separado. El problema es que, en los campos donde se $1+1\ne0$, hay un bijective correspondencia entre bilineal simétrica mapas y homogénea funciones polinómicas de grado $2$ - es decir, los mapas de $q:k^n\to k$ que puede ser escrito como $q(v)=\sum_{i,j}q_{ij}v_iv_j$ para algunas constantes $q_{ij}$. Esta correspondencia se establece llamando $Q_{\phi}(v)=\phi(v,v)$, e $\Phi_q(v,w)=\frac{q(v+w)-q(v)-q(w)}{2}$. Es sencillo comprobar que $\Phi_{q_\phi}=\phi$$Q_{\Phi_q}=q$. No se puede dividir por $2$ al $1+1=0$, y resulta que el mapa de $\phi\mapsto Q_\phi$ no es inyectiva en el carácter $2$.

   Sin embargo, es posible que desee ver en un libro de texto para más detalles sobre los (3); "Introducción A la Formas Cuadráticas Sobre los Campos" por Lam (o su versión anterior, la más famosa versión de "Teoría Algebraica de la Formas Cuadráticas") es algo que usted puede encontrar en su biblioteca local. No llega a cubrir lo que sucede en el carácter $2$, sin embargo.

Answer 2

Los problemas que surgen a lo largo arbitrario campos en su mayoría no tienen nada que ver con el álgebra lineal en sí, más con las aplicaciones.

Usted tiene que darse cuenta de que el álgebra lineal se levantó como un conglomerado de diferentes conceptos y aplicaciones: resolución de ecuaciones lineales, transformaciones lineales entre espacios vectoriales, en general la teoría de la matriz, la matriz de grupos y anillos, problemas geométricos, aplicaciones de ingeniería.

Todos los álgebra esencialmente sólo depende del hecho de que se trabaja a través de un campo. Pero cuando se trabaja con un campo arbitrario, que a menudo no tienen una noción de distancia, ángulos, pendientes, etc. Así

• todo lo que implica tener algo ser mayor que/menor cosa podría crear un problema (como se menciona en otra respuesta, el interior de los productos pueden dar problemas porque pedir que $x \cdot x \geq 0$ todos los $x$ puede llegar a ser sin sentido)
• cualquier cosa que involucre longitud requiere un poco de consideración o redefinición (¿qué significa "normalizar" un vector si usted no tiene una manera de medir su longitud? ¿Cómo se puede medir la distancia entre un vector y un subespacio de un mínimos cuadrados problema?)

Hay muchas cosas que pueden ser redefinidas sin embargo.

• Distancia métricas tales como la distancia de Hamming puede ser impuesta (así como otros).
• A veces, de "normalización", un vector puede refiero sólo a escala por lo que la primera (o última) distinto de cero de la entrada es un 1.
• Ortogonalidad puede ser definido en términos de un arbitrario bilineal o sesquilinear forma $B: V\times V \to \mathbb{F}$ (por lo general requieren que el $B$ es reflexiva, que es que el $B(x,y) = 0$ si y sólo si $B(y,x) = 0$, de modo que la ortogonalidad es una relación simétrica).

Hacer redefiniciones que requerirá la verificación y convencernos de que tienen análogas propiedades que tiene en el real y complejo caso. A menudo, usted tiene similitudes, pero a menudo con algunas diferencias sutiles (por ejemplo, usted puede a menudo tienen distinto de cero los vectores que son ortogonales a sí mismos).