En la última semana me encuentro con mi viejo coautor, Oleg Verbitsky quien me propuso la siguiente pregunta. Yo creo que aquí debe ser fácil contraejemplo, pero yo no soy un puro grupo teórico y normalmente soy interesado en infinidad de grupos, así que me decidí a reenviar la pregunta aquí. Así que, aquí está:
Para un grupo de $G$ y un entero positivo $k$ deje $Sub_k(G)$ ser parte de la familia de todos los subgrupos de $G$ generado por su subconjuntos de tamaño en la mayoría de las $k$ e indexado por estos subconjuntos, que es $$Sub_k(G)=\{\langle K\rangle_K: K\subset G, |K|\le k\}.$$ Moreover, we shall call two indexed families $\{G_i:i\in I\}$ and $\{G'_{i'}:i'\I'\}$ of groups isomorphic, if there exists a bijection $\delta:I\I'$ such that for each $i\I$ the groups $G_i$ and $G_{\delta(i)}$ son isomorfos.
Ahora supongamos que tenemos dos grupos finitos $G_1$ $G_2$ de igual tamaño $n$. Si no recuerdo Oleg las palabras de la derecha, los grupos de $G_1$ $G_2$ no son necesariamente isomorfo proporcionado a las familias $Sub_1(G_1)$ $Sub_1(G_2)$ son isomorfos, y no es un contraejemplo de los dos subgrupos de la pequeña orden. Pero el isomorfismo de las familias $Sub_1(G_1)$ $Sub_1(G_2)$ implica que el isomorfismo de los grupos $G_1$$G_2$, siempre y cuando los grupos son abelian. Así Oleg me preguntó: son grupos de $G_1$ $G_2$ isomorfo proporcionado a las familias $Sub_2(G_1)$ $Sub_2(G_2)$ son isomorfos? Él propuso esta pregunta a un grupo teórico, que espera que la respuesta es negativa en general, pero positivo para el abelian grupos.
Gracias.
