¿Cómo funciona esta prueba del dodecaedro regular ' existencia s fallan?

Question

En Tim Gowers' página web tiene un ejemplo "prueba" de que el dodecaedro regular de la existencia, la cual dice que contiene un error.

Escribe

Por supuesto, no he escrito la anterior prueba en una manera totalmente formal. Mi pregunta es, ¿dónde estaría la dificultad surgir si traté de hacerlo?

que me sugiere que él cree que la prueba contiene un defecto grave que no puede ser corregido mediante la adición de más detalles.

Sin embargo, yo no puede detectar cualquier error. Entonces, ¿cómo la prueba no?

Answer 1

Para encontrar la falla, azulejo el avión con hexágonos regulares y aplicar la "prueba" para el suelo de baldosas. No hay nada específico para pentágonos en ella, así que debe ir a través con hexágonos, demasiado – pero por supuesto que no, ya que no es sólido Platónico con hexagonales facetas.

Todo funciona hasta el punto de que "si se reflejan en $P$, $G$ mapas a $A$"; pero la siguiente declaración "$H$ se asigna a un pentágono que comparte una arista con $A$ $C$ " es falsa por hexágonos, y no hay ninguna justificación de por qué debe ser cierto para los pentágonos.

Answer 2

Es difícil precisar un error específico, ya que la construcción, como se ha esbozado, es una válida. Una línea de ataque es preguntar: el paso de la construcción es válida para pentágonos, pero ya no funcionaría si se trató de construir un sólido platónico de, digamos, heptagons? Y ese es el primer paso: uno siempre puede pegamento $n$ copias de un $n$-gon a un punto de partida $n$-gon, pero no siempre es posible a veces esas copias hacia arriba, de modo que los vecinos cumplir con rubor en sus bordes.

El otro pentágono-argumento específico es la exacta explicación de cómo muchos de los pentágonos que se obtiene en cada "nivel" de la construcción. Si se intenta la construcción de hexágonos, cada paso que todavía funciona (incluyendo la reflexión argumento), pero nunca dejar de colocar hexágonos. Eso no es un error en el pentágono de la construcción argumento, sin embargo.

Answer 3

Este podría no ser el error, pero cuando se pliegan los dos pentágonos B y C (compartiendo ambos lados con Un pentágono), hay una y sólo una alineación donde los lados de B y C cumplen. Para cada ángulo de la tapa en B y cada uno de los ángulos en el pliegue en C habrá una única orientación de los bordes de la B y los bordes de C. Pero, ¿cómo sabemos que cualquier par de ángulos resultado en los dos bordes del forro a la perfección? ¿Por qué no algunos ángulos de un punto de múltiples puntos de mes, pero ninguno donde todos los puntos de la reunión? O varios pares de ángulos en todos los puntos de la reunión?

No creo que el "hexágono se acueste" es un error. Es fácil ver que el ángulo de un pentágono es $108 < \frac {360}3$. Por lo tanto, podemos doblar tres pentágonos. Podemos hacer lo mismo para plazas: $90 < \frac {360}3$ y lo podemos hacer por triángulos con $3,4$ $5$ a un vértice como $60 < \frac {360}3,\frac {360}4, \frac {360}5$.

Pero no podemos hacerlo por hexágonos o polígonos de más lados y $(\text{angle of an n-gon;} n \ge 6)\ge \frac{360}{k \ge 3}$. (Y tener una sólida necesita al menos tres polígonos reunión en un vértice.)

Answer 4

Creo que @jorki es el derecho a "si se reflejan en P, entonces G se asigna a Una, y H se asigna a un pentágono que comparte una arista con a y C,". Creo que la conclusión de que la imagen de $H$ de las acciones de un borde con $A$ se basa en el razonamiento circular. Deje $H'$ ser el reflejo de $H$ en avión $P$. La justificación de que $H'$ de las acciones de un borde con $A$ parece ser que $A$ es el reflejo de $G$ y $H$ de las acciones de un borde con $G$. Pero hay que esperar. Ella aún no se ha demostrado que la $H$ $G$ comparten un borde. De hecho, eso es precisamente lo que concluye en la siguiente frase sobre la base de que $H'$ (es decir, $D$) comparte una arista con $G'$ (es decir, $A$).