¿Por qué se considera que la cardinalidad captura la noción de tamaño?

Question

En primer lugar, permítanme decir que me resulta difícil expresar exactamente lo que quiero hacer, pero voy a tratar de ser lo más preciso que pueda.

Voy a comenzar por aclarar que yo no estoy tratando de preguntar acerca de lo que la cardinalidad es, o por qué es útil/interesante. Lo que me molesta es que cuando se habla de conjuntos, las palabras "cardinalidad" y "tamaño" son tratados como sinónimos, y me he dado cuenta de que no estoy seguro de por qué eso es una buena idea, especialmente cuando se trata de estudiantes de nuevo al concepto de cardinalidad.

Para ayudarle a entender de dónde vengo, cuando me enteré de la existencia de cardinalidad luché con mucho. Simplemente no tenía sentido. Todo parecía plagado de paradojas y absurdos resultados. En retrospectiva, me doy cuenta de que en el momento que me empezó a sentirse cómodo con cardinalidad fue el momento en que dejé de cualquier forma de asociación que yo tenía de él a lo que mi mente pensaba "tamaño" debe significar, y en su lugar empezaron a mirar como un simple ser acerca de bijections que, obviamente, actuó como bijections debe.

Para dar un ejemplo, antes de que me fue educado acerca de cardinalidades, si se me preguntó cuántos números pares hay comparación con los números naturales, o positivos en comparación con reales, probablemente me responde "la mitad", y sospecho que no es infrecuente.

Obviamente que la respuesta es errónea desde la perspectiva de cardinalidades, pero no es lo que evidencia que la cardinalidad no se comportan como algo que se adapte a nuestras ideas de lo que es un "tamaño" es? Tal vez se podría llegar con una idea diferente de tamaño, donde los 'intuitiva' respuestas hace sentido?

Personalmente, me siento como cuando yo uso la palabra el tamaño creo que de conceptos, como la distancia, la masa o el volumen. Cardinalidad parece que se ajusta a la noción de "isomorfismo de conjuntos" más que cualquier otra cosa.

Así que para resumir la pregunta: ¿hay una buena razón por la que queremos asociar activamente la noción de "cardinalidad" principalmente con la palabra/concepto de "tamaño"? O es tal vez una mayoría histórica remanente que hace más pedagógica daño que bien?

Answer 1

Cuando el razonamiento acerca de los conjuntos finitos, que pensamos como finito colecciones de objetos, de una manera que usted puede comparar su tamaño es contando sus elementos y comparar el resultado natural de los números.

Otra forma en la que pueden comparar su tamaño es por el emparejamiento de los elementos de cada conjunto hasta que no hay elementos de izquierda en todo-en cuyo caso los conjuntos tienen el mismo tamaño, o hasta que no son sólo los elementos de uno de los conjuntos de izquierda en el que caso de que el conjunto es más pequeño que el otro. Realmente lo que sucede en este caso se ha construido una inyección desde el conjunto más pequeño en el conjunto mayor.

La cardinalidad es uno de los muchos posibles generalizaciones de esta intuición a un infinito de dominio.

Por analogía con la que cuentan los elementos, a continuación, compare', los números cardinales forman un orden de jerarquía (al menos si se supone que el axioma de elección), al igual que los números naturales, de manera que al calcular la cardinalidad de los dos conjuntos se puede identificar cual es la 'más grande' (en este sentido).

Por analogía con 'par de elementos hasta que no pueda más", usted puede comparar las cardinalidades de los dos conjuntos ya sea por la construcción de un bijection entre ellos, caso en el que tienen la misma cardinalidad-o por mostrar que no hay una inyección, pero no surjection de uno a otro, el cual le dice que uno es más pequeño.

Esta es la razón por la cardinalidad captura la noción de tamaño para conjuntos infinitos: simplemente generaliza la intuición que tenemos para tamaños de finito de conjuntos!

Pero me gustaría tomar el tema con una cosa que le dijo:

Lo que me molesta es que cuando se habla de conjuntos, las palabras "cardinalidad" y "tamaño" son tratados como sinónimos[.]

Me gustaría estar en desacuerdo. Hay un montón de otras medidas de 'tamaño' para conjuntos infinitos que no coinciden con la cardinalidad. De hecho, usted puede comparar los tamaños de (mensurable) de subconjuntos de una medida de espacio mediante el cálculo de sus medir, y medir la necesidad de no estar de acuerdo con la cardinalidad. Por ejemplo, $[0,1]$ $\mathbb{R}$ tienen la misma cardinalidad, sino $[0,1]$ tiene una medida de $1$ $\mathbb{R}$ tiene una medida de $\infty$; y hay innumerables conjuntos de medida $0$, como el conjunto de Cantor.

Como tal, la gente no (o al menos no debería) hablar acerca de la relativa tamaños de conjuntos infinitos, a menos que se haya especificado que la noción de 'tamaño' están usando, o se entiende en el contexto.

Answer 2

Para finito de conjuntos de cardinalidad es una medida natural de tamaño. Usted hace un montón de todos los elementos y el número de ellos. También hay un natural de la correspondencia entre el finito de los números ordinales y lo finito de los cardenales. Si usted toma un elemento de un conjunto finito hay menos elementos a la izquierda, así que el conjunto es más pequeño.

Cuando nos movemos a conjuntos infinitos no podemos mantener todas estas propiedades. Cuando tratamos de extender los conceptos que estamos acostumbrados a conjuntos infinitos tenemos que pensar acerca de cuáles son las propiedades que queremos mantener. Para cardinalidad se decidió que el apropiado para mantener estaba bijections. Que encaja con la idea de que nos están contando los objetos sin importar el orden. Acabamos de decir que si dos conjuntos se pueden poner en bijection tienen la misma cardinalidad e investigar los resultados de esa definición. Encontramos esto lleva a un montón de interesantes teoremas y aceptarlo. Esto lleva al resultado que se puede quitar infinitamente muchos de los elementos de un conjunto infinito sin reducir la cardinalidad, pero tenemos que acostumbrarnos a eso.

¿Qué otras noción de tamaño propondría?

Answer 3

Me gustan las respuestas de los otros comentaristas acerca de por qué bijections de captura y generalizar la noción de "tamaño" que tenemos para finito de conjuntos (personalmente, me gusta pensar en ello como las sillas musicales---hay más gente que las sillas de si cada silla puede ser ocupado por una persona con extra a la gente de izquierda, pero si cada persona está en una silla y cada silla está ocupada, usted sabe que hay exactamente la misma cantidad de sillas y personas).

Creo que la dificultad conceptual de la aplicación de esta noción de "tamaño" para conjuntos infinitos surge porque (al igual que muchas palabras en inglés) la noción usual de "tamaño" es completamente sobrecargado con significado. Tener en cuenta que podemos hablar sobre el tamaño de los océanos (continuo), así como el tamaño de la número de caramelos en un frasco (discreta), pero cuando hacemos esto estamos hablando de dos cosas completamente diferentes. Si yo hablo sobre el tamaño de una persona, yo podría estar refiriéndose a su altura, volumen, peso, o cualquier número de otras cosas. Así que el problema es que lo que entendemos por "tamaño" no es coherente y es dependiente del contexto, y cualquier noción matemática de tamaño también dependen del contexto y no con la posibilidad de capturar todas las cosas que podemos decir cuando hablamos de "tamaño".

Como se ha señalado por Clive Newstead, tenemos otras nociones de "tamaño" en otras áreas de las matemáticas. La medida es una noción de "tamaño" que formaliza nociones como las de volumen y la probabilidad. Dimensión es también una noción de tamaño---un avión es "más grande" que una línea, pero "más pequeño" que el espacio 3D. Hay muchas, muchas de esas definiciones que son útiles dependiendo de qué es lo que te preocupa. Yo también voy brevemente la observación de que su intuición sobre los números acerca de la "mitad" el tamaño de los números naturales es formalizada a través de la noción de "densidad". La densidad de un subconjunto de los números naturales se define como el asintótica proporción de los números naturales $\leq N$ pertenecientes a Una como $N\to\infty$, por lo que en su ejemplo, la densidad de los números pares es, de hecho, 1/2.

Answer 4

Un argumento para dejar de cardinalidad ser nuestro concepto de tamaño para conjuntos infinitos es que casi todas las demás nociones de rendimiento de respuestas contradictorias.

Ejemplo: otra noción que en algunos aspectos podría estar más de acuerdo con la intuición de que usted describe es el tipo de orden de un conjunto ordenado. Si usted sabe lo que los números ordinales son, el tipo de orden de un conjunto es el único ordinal que está en orden-isomorfismo con el conjunto.

Dentro de un determinado cardinalidad, hay una gran equivalencia de la clase de los posibles tipos de orden. Por ejemplo: los números naturales $0,1,2,3,\ldots$ tener un orden de tipo $\omega$. Añadir un nuevo mandato en la final: $0,1,2,3,.\ldots,0$, y ahora se han pedido tipo $\omega +1$. este (tipo de) da la respuesta que quería, porque si hacemos una lista de los números pares, seguido por los números impares $(0,2,4,6,\ldots,1,3,5,7,\ldots)$, el conjunto resultante es de orden tipo de $\omega + \omega$, en lugar de $\omega$ para una lista ordenada de sólo números. Pero como esto es una muestra, no hay nada particularmente estable acerca de este concepto. De hecho, por la reordenación de los elementos, que nos pueden dar establecer el tipo de orden de cualquier ordinal de la misma cardinalidad que el conjunto.

Podemos definir otros conceptos? Seguro. Pero creo que esto ilustra cómo la cardinalidad es en algún sentido "natural", es una de las propiedades invariantes para clasificar el tamaño de un conjunto infinito que no depende de la adición de un adicional de pedido o de la estructura.