¿Qué es exactamente el razonamiento circular?

Question

Lo que yo entendía era que el razonamiento circular se produce cuando una prueba contiene su tesis dentro de sus supuestos. Entonces, todo lo que una prueba "demuestra" es que este enunciado concreto se implica a sí mismo, lo cual es trivial, ya que cualquier enunciado se implica a sí mismo.

Pero presencié una conversación que me hizo pensar que no estoy entendiendo nada de esto.

En resumen, Bob acusó a Alice de razonamiento circular. Pero Alice respondió de una manera que me dejó perplejo:

Por supuesto mi prueba contiene su tesis dentro de sus supuestos. Todas y cada una de las pruebas deben basarse en axiomas, que son suposiciones que no deben demostrarse. Así, cada conjunto de axiomas contiene implícitamente todas las tesis que pueden demostrarse a partir de ese conjunto de axiomas. Como sabemos, cada teorema en matemáticas y lógica es poco más que una tautología: el mío también.

¿No estoy seguro de lo que debo pensar? Por un lado, el razonamiento de Alice parece correcto. Yo, al menos, no encuentro ningún error ahí. Por otro lado, esto implica que... ¡Toda prueba válida debe ser circular! Lo cual es absurdo.

¿Qué es una prueba circular? ¿Y qué hay de malo en el razonamiento anterior?

Answer 1

Por supuesto, mi prueba contiene su tesis dentro de sus supuestos. Todas y cada una de las pruebas deben basarse en axiomas, que son supuestos que no deben demostrarse.

Alto ahí, Alice. Estos específico Los axiomas deben aceptarse sin pruebas, pero nada más. Porque todo lo que es verdad no uno de estos axiomas, el papel de la prueba debe consistir en demostrar que tal verdad puede a partir de estos axiomas y cómo sería tan derivado.

Así, cada conjunto de axiomas implícitos contiene todas las tesis que se pueden demostrar a partir de este conjunto de axiomas.

Implícito . Pero el papel de una prueba es hacer explícito lo implícito. Puedo afirmar que el último teorema de Fermat es cierto. Es una afirmación verdadera. Pero reclamando no es lo mismo que una prueba. Puedo afirmar que los axiomas de las matemáticas implican el último teorema de Fermat y sería cierto. Pero eso sigue sin ser una prueba. Para demostrarlo, debo demuestre cómo los axiomas lo implican. Y al hacerlo no puedo basar ninguna de mis implicaciones demostrativas en el conocimiento de que sé que es cierto.

Como sabemos, cada teorema en matemáticas y lógica es poco más que una tautología:

En realidad, una tautología no es eso. Pero supongo que te refieres a una afirmación verdadera.

también la mía.

A nadie le importa si tu afirmación es cierta. Nos importa si puede demostrar cómo es cierto. Usted no hizo eso.

Answer 2

Todo razonamiento (ya sea formal o informal, matemático, científico, de la vida cotidiana, etc.) debe satisfacer dos criterios básicos para ser considerado un buen razonamiento (sólido):

1. Los pasos del argumento deben ser lógicos (válidos.. la conclusión se deduce de las premisas)

2. Los supuestos (premisas) deben ser aceptables (ciertos o al menos acordados por las partes implicadas en el debate en el que se ofrece el argumento).

Ahora bien, lo que Alice señala es que en el ámbito del razonamiento deductivo (que incluye el razonamiento matemático), la información contenida en la conclusión ya está contenida en las premisas... en cierto modo, la conclusión "simplemente" la extrae. .. Alice parece decir: "todo razonamiento matemático es circular .. así que ¿por qué atacar mi argumento por ser circular?"

Sin embargo, ésta no es una buena defensa contra la acusación de razonamiento circular. En primer lugar, hay una gran diferencia entre "sacar", digamos, algún complicado teorema de aritmética de los axiomas de Peano, por un lado, y simplemente asumir ese mismo teorema como un supuesto demostrado, por otro:

En el primer caso, contrariamente a lo que afirma Alice, en realidad no decimos que se esté produciendo un razonamiento circular: siempre y cuando los supuestos del argumento no sean más que los Axiomas de Peano acordados, y siempre y cuando cada inferencia que conduce al teorema sea lógicamente válida, entonces tal argumento satisface los dos criterios antes mencionados, y por lo tanto es perfectamente aceptable.

En este último caso, sin embargo, el razonamiento circular es que tiene lugar: si todo lo que acordamos son los axiomas de Peano, pero si el argumento utiliza la conclusión (que no forma parte de esos axiomas) como suposición, entonces ese argumento viola el segundo criterio. Se puede decir que "suplica la pregunta"... ya que "suplica" la respuesta a la misma pregunta (¿es cierto el teorema?) que teníamos en primer lugar.

Answer 3

Creo que esto tiene una resolución sencilla:

Cuando decimos informalmente que Alice está obligada a probar un resultado es un lenguaje descuidado; en realidad se le exige que demuestre la implicación axiomas $\implies$ resultado . Así que, por supuesto, puede tener los axiomas en sus premisas. Sin embargo, no puede tener axiomas $\implies$ resultado como una de sus premisas; que sería un razonamiento circular.

Answer 4

La versión falaz del razonamiento circular es una apelación a la proposición

$$(A \to A) \to A \tag{C}$$

Es decir, para establecer una proposición $A$ sin premisas, primero establece la proposición $A$ bajo un supuesto de $A$ . Ejemplo:

• Acusador: "Tú robaste eso".
• Acusado: "No lo hice, era mío."
• Acusador: "No pudo haber sido tuyo porque no puedes robar algo que te pertenece".

En ese caso el acusador tiene razón en cuanto a señalar que "robar" implica "no es tuyo" lo que implica "robar", el $A \to A$ parte, pero la falacia viene de dejar de lado la suposición y concluir "robar" bajo ninguna suposición, que es la última $\to A$ .

Adivinando cual era la parte del argumento de Bob : "Como el significado semántico de un teorema está contenido en el significado semántico de las suposiciones, has utilizado un razonamiento circular". Aquí Bob comete dos errores. Primero, está equiparando el razonamiento circular con la proposición $A \to A$ . Pero el razonamiento circular no es eso, porque $A \to A$ siempre se mantiene, ¿cómo puedes oponerte a eso?

En segundo lugar, no está abordando el argumento que Alice hizo. Incluso si $(A \to A) \to A$ (para su afirmación específica) se aplica a los supuestos y conclusiones de su argumento: u $(A \to A) \to A$ se cumple en el caso de que $A$ es demostrable, como cuando $A$ es una tautología. Observar esto no es deductivamente equivalente a suponer $(A \to A) \to A$ se cumple en todos los casos y utilizarlo como inferencia.

Answer 5

Si su tesis es cierta, se podría argumentar que en cierto modo tiene razón. Pero no sabemos si su tesis es cierta. Digamos que A es el conjunto de axiomas, y S(A) todas las afirmaciones verdaderas derivables de este conjunto, y t su tesis. Entonces quiere demostrar que t está en S(A). Sólo si esto fuera cierto podría usar que t está en S(A). Pero no lo sabe.

Para que le quede claro: podrías preguntarle por qué no utilizar también no t para demostrar que el sistema de axiomas es contradictorio. ¿Cómo sabe que no t no está en S(A)?