supongamos que$X_1,X_2,\ldots$ es la secuencia de variables aleatorias independientes de$U(0,1)$ si$N=\min\{n>0 :X_{(n:n)}-X_{(1:n)}>\alpha , 0<\alpha<1\}$ que$X_{(1:n)}$ es la estadística de orden más pequeña y$X_{(n:n)}$ es la estadística de orden más grande. cómo se puede encontrar$E(N)$
Respuesta
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Deje $m_n=\min\{X_k\,;\,1\leqslant k\leqslant n\}=X_{(1:n)}$$M_n=\max\{X_k\,;\,1\leqslant k\leqslant n\}=X_{(n:n)}$. Como se explica en los comentarios, $(m_n,M_n)$ tiene una densidad de $n(n-1)(y-x)^{n-2}\cdot[0\lt x\lt y\lt1]$ por lo tanto $M_n-m_n$ tiene una densidad de $n(n-1)z^{n-2}(1-z)\cdot[0\lt z\lt1]$.
Para cada $n\geqslant2$, $[N\gt n]=[M_n-m_n\lt\alpha]$ por lo tanto $$ \mathrm P(N\gt n)=\int_0^\alpha n(n-1)z^{n-2}(1-z)\mathrm dz=\alpha^{n}+n(1-\alpha)\alpha^{n-1}. $$ La misma fórmula se tiene para $n=0$ $n=1$ por lo tanto $$ \mathrm E(N)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathrm P(N\gt n)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^n+(1-\alpha)\sum_{n=0}^{+\infty}n\alpha^{n-1}=\frac2{1-\alpha}. $$ Edit: Para el cálculo de la densidad de $(m_n,M_n)$, empezar desde el hecho de que $$ \mathrm P(x\lt m_n,M_n\lt y)=\mathrm P(x\lt X_1\lt y)^n=(y-x)^n, $$ para cada $0\lt x\lt y\lt 1$. La diferenciación de esta identidad dos veces, una vez con respecto a $x$ y una vez con respecto a $y$, los rendimientos de la frente de la densidad de $(m_n,M_n)$.
