Demuestre que$\sqrt {2^n-1}$ es irracional para cada entero$ n>1$

Question

Demuestre que$\sqrt {2^n-1}$ es irracional para cada entero$ n>1$

Traté de suponer que era igual a$\frac p q $.

Yo obtengo $2^nq^2-q^2 = p^2 $

Pero no veo a dónde ir desde allí.

Answer 1

Para$n\geq2$,$2^n-1\equiv 3\pmod 4$, a diferencia de un cuadrado perfecto.

Answer 2

Landon Carter respuesta es directa y tiene la elegancia de la sencillez. Aquí es una respuesta parcial para el caso de $n=2k$, un número par. Yo también uso el hecho de que si la raíz cuadrada es racional tiene que ser un número entero.

Por lo que asumimos $2^{2k}-1$ es un cuadrado y se obtiene una contradicción. Es decir, $(2^k-1)(2^k+1)$ es un cuadrado. Estas cantidades entre paréntesis son ambos impares y se diferencian por 2, por lo tanto no tienen factores comunes.

Así que esto obliga a que tanto los números es decir, $2^{2k}\pm1$ a ser cuadrados perfectos. Al principio las plazas $1$ $4$ difieren por $3$, después de plazas para diferir por más de 3.

Aquí tenemos dos plazas diferentes por 2. Contradicción.

Answer 3

Para continuar con su idea, en lugar de reiniciar y hacer una de las otras respuestas correctas.

$2^nq^2 - q^2 = p^2$.

Suponga $p = 1$

El $2^nq^2 - q^2 = 1$. A continuación, $2^n - 1 = 1/q^2$ es un número entero. Por lo $q=1$. Por lo $2^n - 1 = 1$. Por lo $2^n = 2$$n = 1 \not > 1$.

Suponga $p \ne 1$.

Deje $k$ ser un primer factor de $p$. A continuación, cualquiera de $k|q^2$ que no, ya que supone (o debería haber asumido) $p/q$ es en términos mínimos, o $k|2^n - 1$.

Esto es cierto para todos los factores primos de lo $p^2|2^n -1$.

Por lo $q^2\frac{2^n - 1}{p^2} = 1$ $\frac{2^n - 1}{p^2} \in \mathbb Z$ $\frac{2^n - 1}{p^2} = 1/q^2 \in \mathbb Z$ $q = \pm 1$ y

$2^n - 1 = p^2$.

$p$ es claramente extraño así que vamos a $p = 2p' + 1$

$2^n = 4p'^2 + 4p' + 2$

$4 \not \mid 4p'^2 + 4p +2 = 2^n$ $n < 2$ . Por lo $n \le 1$. Por lo $n \not > 1$.

Answer 4

Es claramente equivalente a demostrar que la ecuación de diophantine $$2^n=x^2+1$$ has no integer solution for $n\gt 1 $ Notice that $x $ must be odd so $x = 2 m +1$ por lo tanto, $$2^n=(4m^2+4m+1)+1=4m^2+4m+2\iff2^{n-1}=2m^2+2m+1$ $ esto es absurde.