Extensión cíclica del grado$p^2$ ramified at$p$ y outside$p$

Question

El principal paso de reducción en la demostración de Kronecker-Weber es el Teorema de reducir el teorema a demostrar el siguiente resultado:

Teorema. Si $K/\mathbb{Q}$ es una extensión cíclica de grado $p^n$ que es unramified fuera de $p$,$K \subset \mathbb{Q}(\zeta_{p^{n+1}})$.

Mi pregunta: ¿Es posible construir una extensión cíclica de grado $p^n$ (tome $n=2$ por conveniencia) que se ramifica tanto en $p$ y en otro primer $q\neq p$? Es claro que este primer debe estar confiando inocentemente ramificado, pero, ¿cómo construir $K$?

Answer 1

Tome un primer$q \equiv 1 \bmod p^n$%; entonces el campo de$q$ - th roots of unity tiene un subcampo cíclico de grado$p^n$. Componer con el campo cíclico ramificado exactamente en$p$ una búsqueda de una subextensión cíclica adecuada diferente de aquellos ramificados en solo un primo.