Que $\mathscr{F}$ ser un haz en $X$ y $Y\subset X$ un subconjunto. Definir un presheaf $\mathscr{F}|_Y$ $Y$ a través del límite directo $$\mathscr{F}|Y(V):=\lim{V\subset U}\mathscr{F}(U),$ $ donde $V$ es un subconjunto abierto de $Y$ y $U$ es un subconjunto abierto de $X$. $\mathscr{F}|_Y$ Es evidente una gavilla si $Y$ es un subconjunto abierto de $X$. Pero no puedo pensar de un ejemplo donde $\mathscr{F}|_Y$ no es una gavilla. ¿Nadie puede pensar en un ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Daniel Miller
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$\DeclareMathOperator{\sh}{Sh}$ Edit: La pregunta originalmente se le preguntó acerca de $F|_Y(V)=\varinjlim_{U\subset V}F(U)$, y mi respuesta refleja. Ahora parece que el OP está pidiendo a cabo la inversa de la imagen functor.
Yo reclamo que $F|_Y$ es lo malo de mirar. En general, si $f:Y\to X$ es un mapa continuo entre espacios topológicos (por ejemplo. la inclusión $Y\subset X$), entonces existe un natural functor $f_*:\sh(Y)\to\sh(X)$ dada por $$ (f_* F)(U) = F(f^{-1}(U)) $$ En el caso de ($f:Y\to X$ es la incrustación de $Y\subset X$) uno ha $(f_* F)(V) = F(V\cap Y)$. Ahora, este functor no está en la dirección en la que usted está buscando, sino $f_*$ ha dejado adjoint $f^*:\sh(X)\to\sh(Y)$, que se caracteriza por la propiedad universal $$ \hom_{\sh(Y)}(f^* F,G) = \hom_{\sh(X)}(F, f_* G) $$ para $F\in\sh(X)$, $G\in\sh(Y)$. (Nota: en geometría algebraica, a menudo se escribe $f^{-1}$ en lugar de $f^*$, pero solo estoy hablando de las poleas de los conjuntos de aquí.) De todos modos, $f^* F$ se define como sigue: $$ (f^* F)(V) = \varinjlim_{U\supset f(V)} F(U) $$ Así que, en su caso ($Y\subset X$) uno tiene $$ (f^* F)(V) = \varinjlim_{U\supset V} F(U) $$ cual es muy distinto a $\varinjlim_{U\subset V} F(U)$. Por ejemplo, si $V$ ha vacío interior, de su definición de los rendimientos de $F|_Y(V) = *$ todos los $V$.
Edit: Georges señaló que yo era demasiado precipitada: mi definición de $f^* F$ de los rendimientos de un presheaf, el sheafification de que es el "real" $f^* F$. De todos modos, aquí es un ejemplo de inclusión $f:Y\to X$ y una gavilla $F$ $X$ que $f^{pre}F:V\mapsto\varinjlim_{U\supset f(V)} F(U)$ no es una gavilla.
Deje $Y=\mathbb{R}$ con la topología discreta, $X=\mathbb{R}$ con la topología usual, y $f:Y\to X$ ser el mapa de identidad. Entonces es fácil ver que, si $F\in\sh(X)$ es la "gavilla de funciones continuas," a continuación, $f^{pre} F$ no es una gavilla.
