Prueba válida alternativa a una cuestión de teoría de números elementales en congruencias?

Question

Así, recientemente he empezado a mí mismo la enseñanza elemental de la teoría de números (ya que no requiere ningún tipo de formación matemática y parece que es una buena manera de mantener mi cerebro en forma, hasta mi primer año de universidad año) uso Elemental de la Teoría de los números por Underwood Dudley. Me he encontrado a través de la siguiente pregunta:

Mostrar que cada primer (con la excepción de $2$ o $3$) es congruente a $1$ o $3$ (mod $4$)

Ahora soy consciente de un método de prueba, que está mirando todos los residuos de $p$ (mod $4$) y la eliminación de lo improbable. Pero antes de eso, he encontrado otra posible forma de probarlo.

Desde $p$ debe ser impar: $p$ $\equiv$ $1$ (mod $2$)

Podemos escribir esto como: 2$|$$(p-1)$

Pero desde $p$ es impar también podemos decir: 2$|$$(p-3)$

Si $a|b$$c|d$$ac|bd$, entonces se sigue que:

$4|(p-1)(p-3)$

El $3$ posibilidades, a continuación, son:

$1.$ $4|(p-1)(p-3)$

$2.$ $4|(p-1)$

$3.$ $4|(p-3)$

Por lo tanto, por la definición de congruencia, tenemos 3 posibilidades:

$1.$ $p \equiv 1$ (mod $4$)

$2.$ $p \equiv 3$ (mod $4$)

$3.$ $4|(p-1)(p-3) = 4|p^2-4p+3$ por lo tanto, $p^2-4p+3 = 4m$

A continuación,$p^2+3 = 4m +4p$.

Set $m+p=z$

Luego de $p^2+3 = 4z$ se sigue que $p^2 \equiv -3$ (mod $4$) (¿Es correcto esto?)

Puede alguien por favor me diga si esto es una prueba válida? Gracias de antemano.

EDIT: por la primera posibilidad en cuenta. También me doy cuenta de que hay mucho más simple de las pruebas, pero yo estaba curioso por saber si este método también funciona.

Answer 1

No creo que haya nada incorrecto en su prueba, pero en términos más simples, la congruencia $$ p \ equiv 1 \ pmod {2} $$ es equivalente a $$ \ text {cualquiera} \ quad p \ equiv 1 \ pmod {4}, \ quad \ text {o} \ quad p \ equiv 3 \ pmod {4}. $$ Esto es simplemente porque si$p \equiv 0, 2 \pmod{4}$, luego$p \equiv 0 \pmod{2}$.

Entonces, tenga en cuenta que el primer$3$% encaja,$3 \equiv 3 \pmod{4}$.

Answer 2

En el caso 1, todavía tiene la posibilidad de que$2|(p-1)$ (pero no$4|(p-1)$), y que$2|(p-3)$ (pero no$4|(p-3)$).

Aquí hay una actualización de su enfoque que funcionará. Sabemos que$p-1$ es par. Si es un múltiplo de 4, entonces$p\equiv 1\pmod{4}$. De lo contrario,$\frac{p-1}{2}=2m+1$, un número impar ($m$ es un entero). Luego multiplicamos para obtener$p-1=4m+2$ y$p-3=4m$. Por lo tanto$p\equiv 3\pmod{4}$.