Recientemente, he estado estudiando un curso de geometría diferencial.
Algunas palabras clave que se incluyen (diferenciable) colector, atlas, (co)el espacio de la tangente, el vector de campo, la integral de la curva, de la mentira de la derivada, la mentira de soporte, las conexiones, la geometría de riemann, geometría simpléctica.
Sin embargo, me he estado preguntando ¿qué problemas de matemáticas puras que son evidentes y muy interesante, pueden ser resueltos con las herramientas de la geometría diferencial. En otras palabras, ¿qué preguntas podría uno pedir que motivan el estudio de la geometría diferencial para alguien que está interesado en las matemáticas puras, principalmente.
Por favor, no se limite a la mera indicando un problema, sino que incluyen una pista, la solución completa, o referencia sobre cómo exactamente la geometría diferencial se convierte en útil.
Aquí están algunas de las posibles respuestas con mi propio comentario de que pueden inspirar:
- Es un gran lenguaje para formular problemas en la física. Eso puede ser cierto, pero por desgracia no me importa pysics (suficiente).
- Es un lenguaje para hablar acerca de las ecuaciones diferenciales, que son "naturalmente muy interesante". Pero honestamente, no creo que la atención acerca de las aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, sabiendo que lo que se pretende al final es que las ecuaciones se estrelló contra un equipo y brutalmente 'resueltos' por métodos numéricos de todos modos, no importa cómo de fantasía que las formulan.
- Perelman de la solución de la conjetura de Poincaré, que puede ser considerado un tema de matemáticas puras, utiliza la geometría diferencial. Al parecer lo hace, pero no es un poco como el uso de Artimañas' solución FLT como una motivación para un curso de álgebra conmutativa?
- Proporciona un conocimiento más profundo en el conjunto de las matemáticas. Bueno, acabo de hacer eso. Pero tal vez ofrece una gran cantidad de ejemplos en los que, por ejemplo, la topología, o tal vez las técnicas puede ser tomado de la geometría diferencial y utilizado en otras ramas. Pero, de nuevo, no tendría más sentido a su estudio, donde se vuelven interesantes?
Como un ejemplo final, una simple pregunta que creo que la motivación para la exploración de los grupos más allá de su definición sería: "¿cuántos grupos de orden 35 hay?": es una pregunta fácil, sólo se referirá a una fácil definición con un somwhat respuesta sorprendente donde la sorpresa se desvanece una vez que usted ha desarrollado una cantidad suficiente de la teoría.
ps - Ya que no hay mejor respuesta a mi pregunta que tal vez se deben wiki de la comunidad. Estoy seguro de que algún moderador va a hacer lo que es apropiado.
pps - En respuesta a Thomas de la Pudrición de la respuesta que debo pedir disculpas por el tono cuando estoy hablando acerca de las ecuaciones diferenciales. En realidad yo soy una persona que obtuvo una licenciatura en física aplicada, antes de voltear a "pura" (en el sentido de que no me importa si es difícil encontrar aplicaciones en situaciones de la vida real) de matemáticas. He visto cómo estas personas a resolver ecuaciones diferenciales-he visto como solía hacerlo Yo mismo, en realidad. No lindo teoría matemática, sólo discretizar todo y poner en una computadora. Si no te funciona, vamos a probar un mejor cuadrícula, vamos a dejar a un término o dos, hasta que funcione. Sorprendentemente no hacen uso de la cotangente espacios para incluso el estado el problema, todavía no parece suficiente para calcular la distribución del calor en los reactores nucleares, o calcular la densidad de electrones en torno a un deuteron. Porque yo he visto todo esto, y no creo que es bastante, me he alejado de ella. Pero siéntase libre de cambiar de opinión sobre el tema.
