Cómo probar este resultado$\frac{x}{y}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$

Question

<blockquote> <p>Un tetraedro $A-BCD$ es que tantas todas las cuatro caras son similar triángulo rectángulo.</p> <p>y $$AB=a,BC=b,AC=c,AD=d,BD=e,CD=f$ $ definir demostración de $$x=\max{(a,b,c,d,e,f)},y=\min{(a,b,c,d,e,f)}$ $ que: $$\dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}}$ $</p> </blockquote> <p><img src="http://i.stack.imgur.com/PgcUu.jpg" alt="enter image description here"></p> <p>desde %#% $ #% ahora debemos suru que ángulo es correcto anlge, pero me caí feo, me puede ayudar, y creo que es interesante problema.</p> <p>¿se dice que este problema tiene otra solución $$\Delta Rt ABC\sim\Delta Rt ACD\sim\Delta Rt ABD\sim\Delta Rt BCD$ $ esto es cierto? Gracias</p>

Answer 1

${\bf 1\ }$ Suponga que el lado de la $BD=e$ (discontinua en la figura) es un lado más largo del tetraedro. Entonces tiene que ser la hipotenusa de ambos triángulos adyacentes $ABD$$CBD$, por lo que estos dos triángulos tienen que ser congruentes.

${\bf 2\ } $ Si $BA=BC$, entonces los dos triángulos $BAC$ $DAC$ son isósceles con hipotenusa $AC$. Reclamo: En este caso el tetraedro es plana, formando un cuadrado.

Prueba. Suponga que los cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ no está mintiendo en un avión. Entonces no es exactamente una esfera que contiene cuatro puntos. Por lo tanto, los dos Thales esferas $BD$ $AC$ deben de coincidir. De ello se desprende que $BD$ $AC$ se cortan en sus puntos medios, demostrando que nuestra suposición es insostenible.

${\bf 3\ }$ Por lo tanto podemos suponer $a=BA=DC<BC=DA=b$, donde $$a^2+b^2=e^2\ .\tag{1}$$ When triangle $BAC$ has its right angle at $B$ then necessarily $CA=e$, which enforces triangle $DAC$ to have its right angle at $D$, and it follows as in ${\bf 2\ }$ que el tetraedro es plana, haciendo un rectángulo.

${\bf 4\ }$ $a<b$ Queda por considerar el caso de que el triángulo $BAC$ tiene su ángulo recto en $A$, y el triángulo $DAC$ tiene su ángulo recto en $C$. $AC=c$ es entonces su lado más corto. De ello se sigue que $$b^2-a^2=c^2\ ,\tag{2}$$ y la condición de similitud impone $${a\over c}={b\over a}\ .\tag{3}$$

De $(1)-(3)$ obtenemos después de algunos cálculos $${e\over c}=\sqrt{2+\sqrt{5}}\ ,$$ que es casi lo que el OP se reivindica.