Necesito demostrar que el anillo$\mathbb Z[\sqrt{-2}]= \{a+b\sqrt{-2} ; a\in \mathbb Z,b\in \mathbb Z \}$ tiene un algoritmo euclidiano, y decidir si hay infinitos primos en este anillo.
¿Cómo me acerco a este tipo de pregunta?
Gracias.
Respuestas
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Es el mismo argumento que el de los enteros de Gauss.
Deje $w$ $z$ estar en nuestras mesas. Queremos mostrar que existen números de $q$ $r$ en nuestro anillo tal que $w=zq+r$, e $N(r) \lt N(z)$ donde $N$ es la norma habitual.
Considere el número complejo a $\frac{w}{z}$. Hay números reales $s$ $t$ tal que $\frac{w}{z}=r+s\sqrt{2}i$. Deje $a$ ser el entero más cercano a $r$, y deje $b$ ser el entero más cercano a $s$. A continuación, $a+b\sqrt{2} i$ está en nuestras mesas.
Desde $|r-a|\le \frac{1}{2}$, e $|s-b|\le \frac{1}{2}$, la norma de $(r+s\sqrt{2}i)-(a+b\sqrt{2}i)$$\le \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2$,$\le \frac{3}{4}$.
Por último, vamos a $q=a+b\sqrt{2}i$, e $r=w-qz$. A continuación,$r=\frac{r}{z}z=\left(\frac{w}{z}-q\right)z$, y por lo tanto $$N(r)=N\left(\frac{w}{z}-q\right)N(z)\le \frac{3}{4}N(z).$$
Para una infinidad de irreducibles, la habitual "Euclides" argumento funciona con cambios menores, y la irreducibles son los principales. O, más simplemente, mostrar que para cualquier ordinarias de primer a $p_i$, hay un no-unidad irreductible $w_i$ que divide $p_i$. Esto produce una infinidad de números primos en nuestro anillo. Es útil observar que por el Teorema de Bezout, cualquiera de los dos ordinario enteros que son relativamente primos en el sentido ordinario no tienen una común-unidad divisor en nuestro anillo.
GmonC
Puntos
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Su anillo se integra en el de los números complejos, donde la división exacta por cualquier elemento distinto de cero es posible. Para un Euclidiana división que necesita el cociente de estar en su anillo de $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$, así que usted puede utilizar la exacta complejo cociente, pero por otro lado se le permite dejar un resto, siempre que no sea demasiado grande, es decir, estrictamente menor que el divisor en algún sentido. Usted puede tomar ese sentido, en el sentido de valor absoluto como un número complejo. (Más bien uno puede tomar el cuadrado del valor absoluto, como Arturo Magidin sugiere, porque para Euclidiana anillo por lo general requiere de la distancia Euclídea función a tomar valores enteros; sin embargo la distancia Euclídea función sólo se utiliza para la comparación, y el único punto esencial es que uno no puede estrictamente disminuir el valor de la distancia Euclídea función infinitamente a menudo, así que usted puede ignorar el cuadrado por ahora.) Ahora, si tomamos como Euclidiana cociente $q$ una aproximación en $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$ de la exacta complejo cociente $z$, es necesario estimar el valor absoluto del resto en términos de la "error" $|z-q|$, y demostrar que puede ser menos que el valor absoluto del divisor. Esto debería ser fácil si usted describen $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$ geométricamente como subconjunto del plano complejo.
