Soluciones enteras a este problema

Question

Así que tengo esta pregunta, y sé que tengo que empezar con el downgrading $782$ a $762$ (para tener en cuenta $x_4$ y $x_5$ siendo igual a $10$ ).

$x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5 782$

donde $x_1,x_2 > 0$ , $x_3 0$

$x_4,x_5 \geq 10$ .

¿Cómo podría resolver esto usando la fórmula de combinación después de desinflar $782$ a $762$ ?

Answer 1

Dejemos que $x_6 = 782 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)$ . Entonces la desigualdad

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \leq 782$$

se convierte en la ecuación

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 782$$

donde $x_1, x_2$ son enteros positivos, $x_3, x_6$ son enteros no negativos, y $x_4, x_5 \geq 10$ . Dejemos que \begin{align*} y_1 & = x_1 - 1\\ y_2 & = x_1 - 1\\ y_3 & = x_3\\ y_4 & = x_4 - 10\\ y_5 & = x_5 - 10\\ y_6 & = x_6 \end{align*} Entonces cada $y_i$ , $1 \leq i \leq 6$ es un número entero no negativo, y \begin{align*} y_1 + 1 + y_2 + 1 + y_3 + y_4 + 10 + y_5 + 10 + y_6 & = 782\\ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 & = 760 \end{align*} El número de soluciones de esta ecuación en los enteros no negativos es el número de formas en que se pueden colocar cinco signos de adición en una lista de $760$ que es $$\binom{760 + 5}{5} = \binom{765}{5}$$

Answer 2

$y_1=x_1+1, y_2=x_2+1,y_3=x_3, y_4=x_4+10,y_5=x_5+10, y_6 \geq 0 \to (y_1+1)+(y_2+1)+y_3+(y_4+10)+(y_5+10)+y_6 = 782 \to y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6=762$ . El número de soluciones es:

$\binom{762+6-1}{6-1} = \binom{767}{5}$

Answer 3

Como ya sabes, primero introducimos las variables $y_1=x_1$ , $y_2=x_2$ , $y_3=x_3+1$ , $y_4=x_4-9$ y $y_5=x_5-9$ . Entonces su problema es equivalente a encontrar el número de soluciones enteras para la ecuación $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\leq 765,$$ donde $y_i\geq 1$ .

La forma habitual de resolver este tipo de problemas es la siguiente: Supongamos que tenemos $765$ puntos en una línea: $\bullet-\bullet-\cdots-\bullet$ . Puedes pensar en una solución $y_1,\ldots,y_5$ como lo siguiente: tomar el conjunto $A_1$ de la primera $y_1$ puntos, entonces el conjunto $A_2$ del próximo $y_2$ puntos, $A_3$ el siguiente $y_3$ puntos, lo mismo para $A_4$ y $A_5$ : $$\underbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}_{A_1}-\underbrace{\bullet-\cdots-\bullet}_{A_2}\cdots\underbrace{\bullet-\cdots-\bullet}_{A_5}-\bullet-\cdots-\bullet$$ así que lo que realmente importa es el punto en el que cada uno de los conjuntos $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ y $A_5$ termina, es decir, tenemos que calcular el número de opciones de $5$ puntos entre todos los $765$ (y el orden no importa), que es $\binom{765}{5}$ .

Answer 4

Otra forma de ver este problema es tratar cada caso por separado:

• antes de eso modificaremos la variable: $y_4 = x_4 -10 \geq 0 $ , $y_5 = x_5 -10 \geq 0 $ , $y_1=x_1 -1 \geq 0$ y $y_2 = x_2 -1 \geq 0$ nuestro nuevo sistema es $x_1 +x_2+x_3+y_4+y_5 \leq 760$

• $y_1 +y_2+x_3+y_4+y_5 = 0\ $ ... , $\ y_1 +y_2+x_3+y_4+y_5 = k $ ... , $\ y_1 +y_2+x_3+y_4+y_5 = 760$ cada caso es disjunto el número de soluciones es:

$N=\sum_{k=0}^{760} \binom{k-1+5}{5}$