Mostrar un grupo es isomorfo al grupo trivial

Question

Supongamos que$A=\langle a,b\mid ab^2a^{-1}b^{-3},ba^2b^{-1}a^{-3}\rangle$, donde$\langle a_1,\ldots, a_n \mid R\rangle$ es el grupo generado por$a_1,\ldots, a_n$ con relaciones en$R$. Muestra esa $A \cong \{1\}$.

Después de llevar a cabo algunas álgebras, obtengo$ab^2=b^3a$ y$ba^2=a^3b$. Desde aquí no sé cómo proceder.

¿Alguien puede dar algunas pistas?

Answer 1

$ab^2a^{-1}=b^3 \Rightarrow ab^4a^{-1}=b^6 \Rightarrow a^2b^4a^{-2}=ab^6a^{-1} = b^9$.

Ahora$a^2 = b^{-1}a^3b$ y sustituyendo$a^2$ en la ecuación$a^2b^4a^{-2}=b^9$ da$a^3b^4a^{-3}=b^9$.

Pero entonces $a^3b^4a^{-3}=b^9 = a(a^2b^4a^{-2})a^{-1} = ab^9a^{-1}$.

Pero$ab^9a^{-1}=b^9$, entonces$a^{-1}b^9a=b^6$ y$b^9=b^6$, de lo cual es fácil demostrar que$b^3=1$.