¿Cuántas formas distintas hay de $2$ -colorear el $8$ ¿Vértices de un cubo?

Question

¿Cuántas formas distintas hay de $2$ -colorear el $8$ vértices de un cubo, con coloraciones que sólo se consideran distintas hasta la rotación?

Answer 1

Puede utilizar el El lema de Burnside . Hay 24 rotaciones en el grupo de simetría de un cubo; página de wikipedia las enumera todas. El grupo actúa en el plató $X$ de coloraciones de vértices, donde $|X|=2^8=256$ así que contemos sus puntos fijos:

• transformación de la identidad: 256 (todas las coloraciones son fijas)

• 6 rotaciones de 90° sobre un eje cuádruple: son rotaciones por un eje ortogonal a dos caras; por ser un punto fijo, la coloración debe ser la misma en los vértices de una de estas caras. Por tanto, 2 caras, 2 coloraciones para cada una: 4 puntos fijos en total

• 8 rotaciones de 120° alrededor de un eje triple:

  

  De nuevo, mira las órbitas - hay 4 de ellas, así que $2^4=16$ puntos fijos.

• 3 rotaciones de 180° en torno a un eje cuádruple: 16 puntos fijos cada una

  

• 6 rotaciones de 180° alrededor de un eje doble: 16 puntos fijos de nuevo

Ahora, aplique el lema para obtener el número completo de órbitas (es decir, el número de coloraciones módulo de rotaciones):

$$|X/G| = \frac{256+6\cdot 4 + 8 \cdot 16 + 3 \cdot 16 + 6 \cdot 16}{24}=23$$

Answer 2

Esto parece un trabajo para El lema de Burnside . Dice que el número de formas distintas de colorear un cubo es igual a $$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|$$ donde

• $X$ es el conjunto completo de $2^8$ diferentes coloraciones
• $G$ es el grupo de transformaciones válidas (en nuestro caso las rotaciones del cubo)
• $X/G$ es el conjunto de clases de equivalencia de coloraciones donde cada clase de equivalencia contiene coloraciones en las que una puede convertirse en la otra aplicando un elemento de $G$ .
• $X^g$ es el subconjunto de $X$ que contiene los colorantes que parecen idéntico después de aplicar $g$ .

Dividimos $G$ en los siguientes subconjuntos (siguiendo el orden de este video como referencia):

• Una transformación de la identidad: $|X^g| = 2^8$ .
• Seis $90^\circ$ rotaciones (una en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario para cada eje) alrededor de un eje que pasa por una cara (ejes 1, 2, 3 en el vídeo): $|X^g| = 2^2$ .
• Tres $180^\circ$ gira alrededor de los mismos ejes: $|X^g| = 2^4$ .
• Ocho $120^\circ$ vueltas (una en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario para cada eje) alrededor de una diagonal principal (ejes 4, 5, 6, 7 en el vídeo): $|X^g| = 2^4$
• Seis $180^\circ$ rotaciones alrededor de un eje que pasa por dos aristas (ejes 8, 9, 10, 11, 12, 13): $|X^g| = 2^4$

Resumiendo, obtenemos $$ |X/G| = \frac{1}{24}(2^8 + 6\cdot 2^2 + 17\cdot 2^4) = 23 $$