Borel determinación fue demostrado por Tony Martin. Usted no necesita mucho si usted lee la perspectiva de la prueba, como se presenta en Kechris del libro Descriptivo de la teoría de conjuntos. Casi la única "técnico" de la noción de necesidad es el concepto de árbol, la cual es una colección de secuencias finitas cerrado bajo segmentos inicial, es decir, si $\sigma$ es un elemento de un árbol de $T$, $\sigma$ es una secuencia finita, y cualquier segmento inicial de $\sigma$ es también un elemento de $T$.
Esta prueba utiliza la clave de la idea de la "revelación" de los juegos. Se procede por inducción transfinita. El punto es que los conjuntos de Borel son, naturalmente, estratificado en una jerarquía de longitud $\omega_1$. Uno puede formar la estratificación de varias maneras. Por ejemplo: En el primer nivel tiene abierto conjuntos. En el nivel $\alpha$ establece que son contables uniones de conjuntos de nivel antes de $\alpha$, o sus complementos (uno puede perfeccionar esta un poco). Lo que el desenlace no está asociado a un conjunto de Borel un conjunto abierto, con un equivalente de juego, lo que significa que el jugador que gana el juego en el conjunto de Borel iff jugador que gana el juego en el conjunto abierto, y lo mismo para el jugador II. Esto demuestra la determinación, por parte de la Gale-Stewart resultado. El problema técnico es que el conjunto abierto no es un subconjunto de los reales, sino más bien de un espacio mucho mayor, algo como $\mathcal P^\alpha(\mathbb N)$ si el original era el conjunto de Borel en el nivel $\alpha$. El superíndice $\alpha$ indica que recorrer en el juego de poder de operación $\alpha$ veces. Digo "algo así como" desde el preciso cálculo requiere un poco más de cuidado con la estratificación.
(Se habla de "desentrañar" porque los asociados abrir el juego se construye desde el original conjunto de Borel $X$, su "historia" (que es, lo que los conjuntos se utiliza cuando se toma contables de los sindicatos y los complementos que conduce de abrir conjuntos de a $X$), y la posible (no necesariamente ganar) estrategias del juego en $X$.)
Esta necesidad de buscar en grandes espacios es esencial para un tecnicismo, lo que explica la dificultad de que el resultado (se utiliza en reemplazo de una manera inevitable). El preciso recuento de cuántos conjuntos de poder de cualquier prueba requiere (nivel a nivel a través de la estratificación) es un refinamiento de Martin del argumento original, debido a Harvey Friedman.
Así que: Si usted comprende la Gale-Stewart resultado, y se sienten cómodos con la base de la teoría de los números ordinales o de inducción transfinita, el resultado debe ser bastante accesible. Normalmente, las presentaciones de el argumento de el uso de $\omega^\omega$ en lugar de $\mathbb R$. Un poco más descriptivo de la teoría de conjuntos, muestra que este no es un problema: Hay un Borel bijection entre el $\mathbb R$ $\omega^\omega$ que envía Borel de los conjuntos de Borel de conjuntos (esto también se explica en Kechris del libro), y uno puede comprobar que la determinación se conserva a través de esta transformación.
La idea de unravelings puede ser extendida más allá de los conjuntos de Borel. Itay Neeman, por ejemplo, mostró cómo desentrañar $\Pi^1_1$ conjuntos. Dicho esto, las pruebas de determinación proyectiva y más allá de proceder de manera diferente a partir de la prueba de Borel determinación, y el uso de grandes cardenales en un imprescindible de la moda.
Edición, Sep. 24, 2013: Timothy Gowers ha escrito una hermosa serie de cinco partes de los puestos de la discusión de la prueba, y motivar a cómo uno puede ir descubriendo:
1, 2, 3, 4, 5.
