Acción apropiada y discontinua de un grupo

Question

Me encontré con el siguiente problema de topología algebraica que yo no podía resolver.

Deje $\Gamma$ ser un grupo que actúa correctamente y de forma discontinua en un topológico de Haussdorf espacio de $X$. Deje $H \triangleleft \Gamma$. Demostrar que $\Gamma / H$ actúa correctamente y de forma discontinua en $X/H$.

Para que una acción es correcta y discontinuo se debe verificar dos propiedades:

• $g \neq e, x\in X \implies g \cdot x \neq x$
• $\forall ~ x,y \in X ~~ \exists ~U^x, V^y ~\text{such that} ~ \{ g \in \Gamma | gU^x \cap V^y \neq \emptyset \} ~~\text{is finite}$

He sido capaz de probar la primera condición, pero yo no podía probar la segunda.

Pensé que podría ser posible la unión de los barrios de los puntos de la órbita de x (la clase de x en H) en el espacio de $X$ que satisfacer la segunda condición, se cruzan con ellos (sabiendo de antemano que cada intersección es finito) y, a continuación, tomar la unión de ellos. Pero esto no iba a funcionar, en el caso general de una infinita grupo.

¿Cómo podría yo demostrar la segunda condición? Gracias.

Answer 1

Finalmente conseguí la respuesta a este ejercicio.

Primero vamos a empezar probando algunas equivalencias que harán todo más fácil más adelante. Queremos ver que $\forall ~ \bar{x}, \bar{y} \in X/H, \quad \exists \bar{U}^{\bar{x}}, \bar{V}^{\bar{y}} \subset X/H$ tal que:

$$#({gH, \quad gH\bar{U}^{\bar{x}}\cap \bar{V}^{\bar{y}} \neq \emptyset })

Utilizaremos:

$$gH\bar{U} \cap \bar{V} \neq \emptyset \iff \bar{gU} \cap \bar{V} \neq \emptyset \iff \pi^{-1}(\bar{gU}) \cap \pi^{-1}(\bar{V}) \neq \emptyset \iff$$

$$ \iff (\cup{h \in H} hgU) \cap (\cup{h' \in H} h'V) \neq \emptyset$$

Por otro lado, también utilizaremos que $\exists ~ h,h' \in H, \quad hgU \cap h'V \neq \emptyset \iff h''gU \cap V \neq \emptyset$

Teniendo ahora en cuenta que la acción de $\Gamma$ sobre X es correcta y discontinua sabemos que $\exists ~ U^x, V^y, \quad { k \in \Gamma, \quad kU \cap V \neq \emptyset } = { k1, \dots, k_m }$. Considerando $\bar{U}=\pi(U)$ y $\bar{V}=\pi(V)$, si $gH\bar{U}\cap \bar{V} \neq \emptyset$, entonces el $h''g = k1, \dots, k_m$ que implica ${ gH, \quad gH \bar{U} \cap \bar{V} \neq \emptyset } \subset {k_1H, \dots, k_mH }$.

Answer 2

Prueba más corta usando el revestimiento teoría del espacio:

$\Gamma$ actúa correctamente discontinous en $X \Leftrightarrow$ $X\to X/G$ es una cubierta. Ahora la declaración sigue pasando a una cubierta intermedia $X \to X/H \to X/\Gamma$.