Si$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$, ¿entonces qué es$\frac{dy}{dx}$?

Question

Los Estados de la cuestión:

Si $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$, entonces ¿qué es $\frac{dy}{dx}$?

Las opciones son:

1. $$\sqrt{\frac{1-x^2}{1-y^2}}$$
2. $$\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$$
3. $$\frac{1-x^2}{1-y^2}$$
4. $$\frac{1-y^2}{1-x^2}$$

He intentado diferenciar la expresión completa: $$\begin{align} \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}+\frac{-2y}{2\sqrt{1-y^2}}\frac{dy}{dx} &= a(1-\frac{dy}{dx}) \ a + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{dy}{dx}(a-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}) \ \frac{dy}{dx} &= (a+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})(a-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}})^{-1} \end {Alinee el} $$ no estoy seguro de cómo proceder ahora. ¿Hay un mejor enfoque? ¿Es recomendable utilizar mi enfoque?

Answer 1

Su enfoque es absolutamente bien y el resultado que han obtenido es correcto. Si usted me entregó una tarea como esta me quedaría satisfecho, ya que es evidente que se ha entendido el procedimiento de diferenciación implícita.

Aún así, el problema es un poco pedante y le pide que haga un final superfluo simplificación: tenga en cuenta que $a$ está ausente de todas las opciones disponibles, por lo tanto expresar $a$ $\dfrac {\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2}} {x-y}$ y reemplazarlo en su propio resultado. Después de una serie de simplificaciones algebraicas elementales obtendrá $\dfrac {\sqrt{1-y^2}} {\sqrt{1-x^2}}$, que es la opción 2.

Answer 2

Como se indicó en los comentarios de esta realidad es un wee-poco más extensa, y por lo tanto no se recomienda.

Desde siempre trato de recurrir a sustituciones trigonométricas siempre fraccional poderes están involucrados voy a intentar esto sustituyendo $x=sinA$ $y=sinB$

$cosA +cosB=a(sinA-sinB)$

$2cos\frac{(A+B)}{2} \times cos\frac{(A-B)}{2} =a\times 2Cos\frac{(A+B)}{2}\times Sin\frac{(A-B)}{2}$

$cot\frac{(A-B)}{2} =a$

$A-B=2cot^{-1}a$

Por arte de magia la reducción de la

$sin^{-1}x-sin^{-1}y =2cot^{-1}a$

Ahora diferenciar...

$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \times \frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Si usted se está preparando para JEE ADV yo recomendaría practicar el cálculo diferencial libro por cengage , y para la teoría de la recomendaría Cálculo Diferencial por AmitMAgarwal

Answer 3

Parece que debe haber una manera de eliminar las $a$ a partir de la fórmula.

Vamos a tratar de abordar el plazo $a+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ primer lugar, y con el hecho de que $$a(x-y) = \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2}.$$

Con el fin de evitar lidiar con un montón de fracciones, yo multiplicar $a + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ por el factor de $x-y$ a partir de la ecuación y por el denominador $\sqrt{1-x^2}$. Entonces \begin{align} \left(a + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)(x-y)\sqrt{1-x^2} &= a(x-y)\sqrt{1-x^2} + x(x - y) \\ &= (\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2}) \sqrt{1-x^2} + x^2 - xy \\ &= 1 - x^2 + \sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2} + x^2 - xy \\ &= 1 - xy + \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \\ \end{align}

A continuación, trabajar el valor de $$ \left (\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)(x-y)\sqrt{1-y^2} $$ en una manera similar para obtener una expresión en $x$ $y$ solamente. Comparar los dos resultados y ver si se le permite simplificar la expresión para cada una de las respuestas.