Quiero demostrar que$[0, \infty)$ con$d(x, y) = |\sqrt x - \sqrt y|$ no está completo.

Question

probar que$[0, \infty)$ con$d(x, y) = |\sqrt x - \sqrt y|$ no está completo.

Quiero encontrar la secuencia de Cauchy pero no convergente con$d$. Me parece muy difícil. Por favor dime la pista.

Answer 1

En realidad, el problema no tiene nada que ver con las raíces cuadradas, excepto por la propiedad de$x\mapsto\sqrt x$ de ser una biyección. Si$f:X\to(Y,d)$ es cualquier función de inyección, donde$X$ es un conjunto y$Y$ es un espacio con métrica$d$, y si equipamos$X$ con la métrica$d_f(x,x')=d(f(x),f(x'))$, luego$f$ se convierte en una isometría$(X,d_f)\to(Y,d)$, es decir, un mapa que conserva las distancias. A continuación, puede usar el hecho de que para cualquier isometría biyectiva entre dos espacios métricos, un espacio se completa si y solo si el otro está completo.

Answer 2

El espacio de $A=[0,\infty)$ con la norma $d(x,y)=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$ es completa. He aquí una más elementales de la prueba.

Deje $(a_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $(A,d)$, e $\varepsilon$ un número real positivo. Entonces, existe un entero positivo $N_\varepsilon$ tal que $$ d(a_n,a_m)\le \varepsilon \quad \forall m,n\ge N_\varepsilon. $$ Para $\varepsilon=1$, obtenemos $$ d(0,a_n)\le d(0,a_{N_1})+d(a_{N_1},a_n) \le d(0,a_{N_1})+\max\{1,\max_{1\le i,j\le N_1}d(a_i,a_j)\} \quad \forall n, $$ es decir, $$ 0\le a_n\le M \quad \forall n, $$ donde $$ M^2\le d(0,a_{N_1})+\max\{1,\max_{1\le i,j\le N_1}d(a_i,a_j)\}. $$ Ahora, por cada $m,n\ge N_\varepsilon$ hemos $$ |a_n-a_m|=(a_n+a_m)d(a_n,a_m) \le 2M\varepsilon, $$ es decir, $(a_n)$ es una secuencia de Cauchy en $(\mathbb{R},|\cdot|)$, y por lo tanto es convergente porque $(\mathbb{R},|\cdot|)$ es completa. Desde $A$ es cerrado en $\mathbb{R}$,$\lim_na_n\in A$, y por lo tanto $(A,d)$ es completa.