Existencia de secuencias

Question

Dados los números reales $a, b, c$ tal que $a^2= b^2+c^2$, hay tres secuencias de números naturales $a_n, b_n, c_n$ tal que $a_n(a_n+1)= b_n(b_n+1)+c_n(c_n+1)$. El % de cocientes convergen $b_n/a_n$y $ c_n/a_n$ $b/a$ y $c/a$ respectivamente.

Cualquiera puede ayudar a como conseguir la existencia de tal secuencia y converge

Answer 1

Que $a{n}=n$ $b{n}=\frac{b}{a}n$ y \begin{align} c{n}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{4c^{2}}{a^{2}}n^{2}+4\left(1-\frac{b}{a}\right)n+1}-1\right) \end {alinee el} que satisface las relaciones dadas. Podemos comprobar fácilmente que $\lim{n\to \infty} \frac{c{n}}{a{n}}=\frac{c}{a}$.