No está seguro de cambiar el orden de integración

Question

Quiero cambiar el orden de integración de las siguientes

$$\int_{1}^{+ \infty} \left (\int_{1}^{\sqrt{y}} x^3e^{-xy} dx \right) dy.$$

Puedo obtener de los límites $1 \le y \le x^2$$1 \le x \le \infty$, y por lo que la integración se convierte en

$$\int_{1}^{+ \infty} \left (\int_{1}^{x^2} x^3e^{-xy} dy \right) dx.$$

Como se muestra a continuación, el área, la cual es integrada es $I$, delimitada por la curva de $x=\sqrt{y}$, $x=1$ y $y=1$. Es esto correcto? También, en general, ¿cómo puedo saber cuál es el área que está integrado? A veces es evidente que el área está integrada, a veces no. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Absolutamente, tienes que averiguar qué región que estás haciendo para obtener los límites adecuado. (A mano) dibuje una línea horizontal con $y$ fijadas y los valores de $x$ que van desde $1$ $\sqrt y$ de la cortina. ¿Cuál es tu región? Luego cambiar el orden y hacerlo a la inversa: ¿Cuáles son los valores de #% % posible #% en la región, y un % fijo $x$, ¿qué $x$ [es decir, dibujar un segmento de la línea vertical y averiguar sus extremos]?

Answer 2

Creo que usted debe conseguir $+\infty > y\geq x^{2}$ por lo que la integral interior tiene límites diferentes.