Triángulo de Penrose y Umbilic Torus

Question

Aquí hay dos imágenes - una de cada. A mí me parece que son el mismo objeto desde la perspectiva topológica, es solo un alisado de salida de la versión de la otra. Creo esto porque está claro que cada uno tiene un lado de la cara, un cuerpo cerrado, triangular secciones transversales etc. Supongo que estoy pensando vagamente en términos de homología simplicial.

El Triángulo De Penrose

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Penrose-dreieck.svg/2000px-Penrose-dreieck.svg.png

La Central De Toro

http://scgp.stonybrook.edu/wp-content/uploads/2012/10/UmbilicTorus-aerialview-web.jpg

Para ser justos, no se puede determinar simplemente por inspección si el triángulo de Penrose tiene un solo filo o no - y si esto sería suficiente para distinguirlos topológicamente - y no puedo salir y mirar uno para determinar si es realmente la misma que la central de toro en el campus.

Puede cualquier persona con una buena capacidad de visualización o tal vez sólo un mayor conocimiento de homología me ayude a determinar la homología de grupos de el triángulo de Penrose? O si no, acaso hay alguna manera más fácil de ver si son distintos?

Answer 1

Son topológicamente ambos lo mismo. De hecho ambos son homeomorfa a un toro sólido $S^1 \times D^2$ y por lo tanto homotopía equivalente a un círculo: te imaginas que encoge cada sección hasta un punto.

Bordes/caras es irrelevante desde el punto de vista de la topología. Por ejemplo la unidad Plaza $[0, 1]\times [0, 1]$ es homeomorfa a la disco $D^2$ a pesar de tener diversos números de las esquinas/lados.

El triángulo de Penrose tiene dos bordes y una corte transversal cuadrado.

Answer 2

Si tuviéramos que imaginar cortar la superficie de ambas formas en los "bordes" (donde en el triángulo de Penrose ignoramos las curvas triangulares), entonces la superficie resultante es de una sola pieza continua en ambos casos, pero habrá un número diferente de mitad-giros (tres para la triángulo, uno para el toro). Así que en ese sentido, las dos superficies no son equivalentes.