Demuestre que si$p$ es un número primo, entonces$\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$

Question

Demuestre que si$p$ es un número primo, entonces$\binom{p-1}{k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$. ¿Qué se puede decir sobre$\binom{p+1}{k} \pmod{p}$?

Pensé en expandir$\dbinom{p-1}{k} = \dfrac{(p-1)!}{k!(p-1-k)!}$, pero no veo cómo eso ayuda. hay una manera mas facil?

Answer 1

Si$k=0$, entonces es trivialmente cierto. De otra manera:

ps

con la apariencia de divisiones que tienen sentido porque$$\frac{(p-1)!}{k!(p-1-k)!}\equiv\frac{(p-1)\ldots(p-k)}{k!}\equiv\frac{(-1)\ldots(-k)}{1\ldots k}\equiv (-1)^k \frac{k!}{k!}\equiv(-1)^k,$ es un campo.

Answer 2

Es fácil mostrar que$$\binom{p}{k}\equiv 0\pmod{p} $ $ a menos que$k\in\{0,p\}$: en tales casos$\binom{p}{k}=1$. Ahora solo explote el hecho de que:$$ \binom{p}{k}=\binom{p-1}{k-1}+\binom{p-1}{k} $ $ a través de la inducción. Con el mismo enfoque tenemos$$ \binom{p+1}{k}\equiv 0\pmod{p} $ $ a menos que$k\in\{0,1,p,p+1\}$: en tales casos$\binom{p+1}{k}\equiv 1\!\pmod{p}$.