Limitado en la medida relativa de$\delta$ - barrios de conjuntos compactos utilizando el teorema máximo de Hardy-Littlewood

Question

Notación: $|A|$ es la medida de Lebesgue de $A \subset \mathbb{R}^d$, e $A_\delta = \{ x : \text{dist}(x,A) \leq \delta \} $ $\delta$- barrio de $A$.

Quiero mostrar que hay una constante $C$ tal que $|E_{2\delta}| \leq C |E_{\delta}|$ para todos los conjuntos compactos $E \subseteq \mathbb{R}^d$ y todos los $\delta > 0$.

Me han dicho que me tengo que aplicar la de Hardy-Littlewood teorema de máxima a $f = \mathbb{1}_{E_{\delta}}$. Para $p > 1$, esto le da a la estimación de $||Mf||_p^p \leq C ||f||_p^p = C|E_{\delta}|$. Para $p = 1$, es la estimación de $\lambda \cdot |\{x : Mf(x) > \lambda \}| \leq C ||f||_1 = C |E_{\delta}|$. Aquí $$ Mf(x) = \sup_{r > 0} \frac{1}{B(x,r)} \int_{B(x,r)} |f(y)| dy. $$

Yo creo que debe tratar de mostrar que $|E_{2 \delta}| \leq C ||Mf||_p^p$. Veo que $$Mf(x) = \sup_{r > 0} \frac{|E_{\delta} \cap B(x,r)| }{|B(x,r)|}.$$ Pero estoy atascado después de eso.

Yo sé que tengo que usar la compacidad de $E$ de alguna manera. Mi pensamiento es que debo buscar en un número finito de cubrimiento por bolas $B(x,r)$ o bolas $B(x,\delta)$ o algo así.

Por favor alguien puede ayudar?

Answer 1

Puedes usar el lema de cobertura de Vitali para mostrar esto. Dejar $E_\delta = \{x \in R^d: dist(x,A) < \delta\}$; es un poco más fácil trabajar con$E_\delta$ y el resultado es totalmente equivalente ya que$E_{\delta} \subset A_{\delta} \subset A_{2\delta} \subset E_{4\delta}$ y puede aplicar el resultado de$E_{\delta}$ dos veces.

Por Vitali, hay una colección contable de bolas disjuntas$B(x_n,2\delta)$ con$x_n \in A$ para todos$n$ tal que$$E_{2\delta} = \cup_{x \in A}B(x,2\delta) \subset \cup_n B(x_n,10\delta)$ $ Entonces tenemos$$|E_{2\delta}| \leq \sum_n |B(x_n,10\delta)| $ $$$= 10^d \sum_n |B(x_n,\delta)|$ $ Dado que estas bolas son subconjuntos disjuntos de$E_{\delta}$, esto es como máximo$$ \leq 10^d |E_{\delta}|$ $ Esto da el resultado deseado.