Esta caracterización del operador compacto puede derivarse por otra más general. Tomemos en general $T:E\to F$ un operador lineal acotado entre dos espacios de Banach. Diremos que $T$ es compacta si la imagen $T(B_E)$ de la bola cerrada de $E$ es relativamente compacto en $F$ . Diremos que $T$ es secuencialmente compacta si: $x_n \rightharpoonup x$ débilmente en $E$ implica que una subsecuencia $T(x_{n_k})\to T(x)$ en F. Toda esta teoría puede consultarse en Brezis - Análisis funcional (quizá en forma de ejercicio).
Si $T$ es compacta, entonces es secuencialmente compacta. De hecho, tomemos $x_n \rightharpoonup x$ débilmente en $E$ entonces $x_n$ está limitada, es decir, está contenida en una bola en $E$ . Entonces la imagen de la bola es relativamente compacta en $F$ entonces obtenemos una subsecuencia $T(x_{n_k})\to y$ en $F$ . Y por continuidad con respecto a la convergencia débil tenemos $y=T(x)$ .
Si $E$ es reflexivo (es el caso de un espacio de Hilbert), si $T$ es secuencialmente compacta, entonces es compacta. De hecho: puesto que $E$ es reflexiva, la bola unitaria $B_E$ es débilmente compacta, entonces para cada $\epsilon_n>0$ hay una cubierta finita de la bola hecha de barrios débiles:
$$V_{\epsilon_n}(x_i^n;f_1,...,f_{r_i}^n):=\{x\in B_E:|f_l(x-x_i^n)|<\epsilon_n\,\,\forall l=1,...,r_i \}\qquad i\in I^n,$$
donde cada $f_l\in E^*$ , $r_i\in\mathbb{N}$ y $I^n$ es finito. Tomando una secuencia $\epsilon_n\searrow0$ obtenemos que el conjunto $\{T(x_i^n) \}_{n\in\mathbb{N},i\in I^n}$ es denso en el cierre de $T(B_E)$ de hecho, si $y\in T(B_E)$ entonces $y=T(x)$ y hay $x_j\in\{x_i^n\}$ tal que $x_j \rightharpoonup x$ entonces por hipótesis de compacidad secuencial $T(x_j)\to y$ a menos que se pase a la subsecuencia. Así hemos demostrado que el cierre de $T(B_E)$ es separable en $F$ ya que $\{T(x_i^n)\}_{n\in\mathbb{N},i\in I^n}$ es contable. Ahora demostramos que $T(B_E)$ es secuencialmente relativamente compacta en $F$ (que junto con la separabilidad da una compacidad relativa en la topología fuerte de $F$ ). De hecho $T(x_n)$ sea una secuencia en $T(B_E)$ entonces $x_n\in B_E$ entonces una subsecuencia $x_{n_k} \rightharpoonup x$ por compacidad débil, entonces por hipótesis una subsecuencia $T(x_{n_{k_l}})\to T(x)$ en $F$ .
Ahora llegamos a la pregunta . Asumo razonablemente que la convergencia uniforme en conjuntos compactos implica convergencia débil en $H$ (esto suele ser cierto en los espacios de Hilbert habituales). Y tomamos $T:H\to H$ .
Si $T$ es compacto, toma $f_n$ limitado en $H$ y convergen uniformemente a cero en conjuntos compactos. Entonces converge débilmente a cero en $H$ . Por compacidad débil secuencial del operador obtenemos $T(f_{n_k})\to 0$ en $H$ .
Ahora supongamos $T$ satisface la mano derecha de la afirmación "si y sólo si". Demostramos que $T$ es secuencialmente compacto, eso implicará compacto. Tomemos una secuencia $f_n\in H$ que converge débilmente a $f$ . Entonces $g_n:=f_n-f$ converge débilmente a $0$ . Por lo tanto, también limitada, a continuación, por la hipótesis de "familia normal" en la pregunta, $g_n$ converge uniformemente en conjuntos compactos (después de pasar a la subsecuencia). Por unicidad, el límite uniforme de $g_n$ es cero, ya que se trata del límite débil. Por supuesto una subsecuencia tiene $T(g_{n_k})\to0$ en H, y por definición de $g_n$ tenemos $T(f_{n_k})\to T(f)$ en $H$ que demuestra la compacidad secuencial del operador y, a continuación, su compacidad.
