Círculos árabes

Question

Este precioso diseño viene de un show acerca de arabian patrones. Por lo tanto el título.

Incluye los círculos de tocar 8, 7, 6, 5 y 4 otros círculos.

La pregunta: ¿cuáles son los tamaños exactos de los círculos en orden decreciente?

Sé que la solución numérica, estoy interesado en la exacta expresiones. No estoy seguro de si este tipo de expresión existe.

Para la discusión propósito, permite llamar a las radios a, b, c, d y e para los círculos con resp. 8, 7, 6, 5 y 4 vecinos. Supongamos que el período del patrón es de 2 unidades.

No hay truco en la imagen. Donde 2 círculos parecen toque, que se tocan. Y se puede asumir perfecta simetría horizontal, vertical y diagonal.

PS: lo siento si es demasiado fácil para este foro, creo que es demasiado difícil y matemáticos para la desconcertante foro.

Answer 1

"Sólo" de resolver este sistema:

$$\begin{align} |BC| &= b+c \\ |BD_1| &= b+d \\ |CD_2| &= c+d \\ |D_1 D_2| &= 2 d \\ |D_2 E| &= d + e \end{align}$$ donde, dicen, $$A = (0,0) \qquad B = (a+b,0) \qquad C = \frac{(a + c )\sqrt{2}}{2} (1,1)$$ $$D_1 = (a+2b,x) \qquad D_2 = (x,a+2b) \qquad E = (a+2b)(1,1)$$

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Edit. Numéricamente, teniendo en $a=1$, tenemos $$\begin{align} b &= 0.7037139\dots \\ c &= 0.5493113\dots \\ d &= 0.7792658\dots \\ e &= 0.3227824\dots \\ x &= 1.3053795\dots \end{align} $$

que, de acuerdo con Mathematica, es la única solución positiva de los valores reales.

Simbólicamente, bueno ... Hay un poco atractivas grado-6 polinomio involucrados, y la verdad es que no quiero escribir ahora. Voy a volver a esto más tarde.

Answer 2

Sabemos que el patrón que realmente se ajusta como se ve? Dos empieza, pero demasiado largo el comentario: en el círculo más pequeño, y dos de sus vecinos, que tienen un $90-45$ triángulo de incorporarse a los centros con las piernas $b+e$ y la hipotenusa $2b$. Esto le da a $e=(\sqrt 2-1)b$ Buscando en el círculo más grande, usted tiene un triángulo con lados de $a+c,a+d,c+d$ con el ángulo opuesto a $c+d$$45^\circ$. Esto le da a $(c+d)^2=(a+c)^2+(a+d)^2-2(a+c)(a+d)\frac {\sqrt 2}2$ a partir de la ley de los cosenos. Por desgracia, los otros círculos no tienen perfectamente simétrica rodea, así que llegar a las otras dos ecuaciones no va a ser fácil.