¿Cuál es la definición de "local equation(s)" para un subsistema?

Question

Hartshorne menciona local "ecuaciones" un par de veces sin (tan lejos como puedo decirle a) definición de ellos en cualquier lugar. Lo mejor que puedo adivinar, la definición sería algo como esto:

Si $Y \subseteq X$ es un cerrado subscheme, a continuación, "local ecuaciones para $Y$" consisten en un abrir afín set $U \subseteq X$ y un conjunto finito de generadores $f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}_X(U)$ de la ideal gavilla $\mathscr{I}_Y(U)$ considera como un $\mathcal{O}_X(U)$-módulo.

(Aquí he tratado de adaptar la definición de local ecuaciones para una subvariedad dado en Shafarevich.) Es esta la definición aceptada? O debe el supuesto de que $U$ es afín o que $Y$ es un cerrado subscheme ser debilitado? O es que hay algo mal con él?

¿Qué debe hacer si $X$ no es noetherian? Podría cerrado subscheme simplemente no tienen local ecuaciones en ese caso?

O es local "ecuación", definida en algún lugar en Hartshorne?

Answer 1

Deje $X$ ser un esquema arbitrario y $i : Y \hookrightarrow X$ ser un cerrado de inmersión correspondiente a la cuasi coherente ideal $I \subseteq \mathcal{O}_X$ . Si $U \subseteq X$ es un subconjunto abierto, el "local de las ecuaciones de $i$ $U$" en realidad significa el ideal $I|_U \subseteq \mathcal{O}_U$ (en particular de existir). A menudo también se refiere a cualquier conjunto de los generadores, es decir, una familia de elementos $(f_s)_{s \in S}$ $\Gamma(U,I)$ tal que $\oplus_{s \in S} \mathcal{O}_U \to I$ es un epimorphism. Si $U$ es afín, esto significa que $\Gamma(U,I)$ es generado por el $f_s$. Si $X$ es noetherian, uno puede elegir a $S$ a un ser finito.

Al $X$ es proyectiva, a menudo utilizamos otra definición. Vamos a decir $X=\mathrm{Proj}(S)$ con un bonito gradual álgebra $S$. Luego se cierra subschemes $Y$ $X$ provienen de graduado ideales $I$ $S$ través $Y=\mathrm{Proj}(S/I)$. A continuación, generadores de $I$ también llamado (homogéneo) las ecuaciones para $Y \hookrightarrow X$. Tenemos la obvia idea de local (homogénea) de la ecuación al $S$ es una gavilla de álgebras graduadas en una base de esquema.