Primes $p$ tal que $p^2$ divide $x^2 + y^2 + 1$

Question

Llama a un primo $p$ impresionante si existen enteros positivos $x$ y $y$ tal que $p^2$ divide $x^2+y^2+1$ .

Observación: $2$ no es impresionante, porque $x^2+y^2+1\not\equiv 0$ (mod $4$ ). Pero $3$ es impresionante, porque $9$ divide $27=5^{2}+1^{2}+1$ . Así que mi pregunta es:

¿Existen infinitos primos impresionantes? ¿Podemos encontrar todos los primos asombrosos?

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Motivación: Es cierto que para cada primo $p$ existe un número entero positivo $x$ y $y$ tal que $p$ divide $x^2+y^2+1$ . La prueba se puede encontrar aquí . (En realidad, este es un buen resultado; por ejemplo, se utiliza en una demostración de la teoría de Lagrange $4$ -teorema del cuadrado).

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Si esto es demasiado trivial, ¿qué podemos decir si $p^2$ se sustituye por $p^{k}$ ? :)

Answer 1

Cada impar prime tiene esta propiedad - incluso si se sustituye $p^2$ por $p^k$ . (bastante impresionante, eh)

Encontrar una solución $(x_1,y_1)$ a $x_1^2+y_1^2+1\equiv0\pmod p$ sin pérdida de generalidad, $p$ no divide $x_1$ . Consideremos el polinomio $x^2+(y_1^2+1)$ . Este polinomio tiene una raíz $x_0$ modulo $p$ y su derivada en esa raíz es $2x_0\not\equiv0\pmod p$ . Por lo tanto, al El lema de Hensel el polinomio $x^2+(y_1^2+1)$ tiene una raíz en el módulo $p^k$ por cada $k$ - de hecho, una única raíz que es congruente módulo $p$ a $x_0$ .

Answer 2

Bueno, el factor tiempo aquí es probablemente sólo 3.

Escrito en la ecuación ideal: $X^2+Y^2+1=3Z^3$

Las soluciones se pueden escribir con la siguiente ecuación Pell. $p^2-2(k^2+k+1)s^2=1$

Entonces las soluciones son de la forma

$Y=2p^2+2(k+2)ps-1$

$X=2p^2+2(2k+1)ps-1$

$Z=2p^2+2(k+1)ps-1$

$k$ - lo que algunos enteros.