Pregunta sobre la mediana y la moda en distribuciones asimétricas

Question

En los libros de texto de introducción a la estadística, la moda suele describirse como la menos susceptible a la asimetría, seguida de la mediana, que a su vez es seguida por la media. La diferencia entre la mediana y la media me resulta bastante sencilla, pero no tengo muy claro lo de la moda. Parece que en las distribuciones discretas, es posible que la mediana y la moda sean la misma.

Por ejemplo, si tengo un conjunto de datos como el que se muestra a continuación:

#R code
median(rep(1:8, c(rep(1,3), rep(2, 2), 7, 1, 1)))
[1] 1 2 3 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 8

hist(rep(1:8, c(rep(1,3), rep(2, 2), 7, 1, 1)), 
     breaks=seq(0.5, 8, length=8), freq=FALSE, main="", xlab="values")

Aquí, la media y la mediana son

mean(rep(1:8, c(rep(1,3), rep(2, 2), 7, 1, 1))); median(rep(1:8, c(rep(1,3), rep(2, 2), 7, 1, 1)))
[1] 5.0625
[1] 6

La moda es 6. Así que en este caso, la mediana y la moda son idénticas. ¿Puede alguien explicar esto? Gracias.

Answer 1

Los valores de la moda y la mediana son iguales en esa muestra... pero ¿son igualmente sensible ?

Eso depende del extremo de los valores de los datos con el que se juegue.

Si tomamos los 8 valores más pequeños (1 2 3 4 5 5 y uno de los 6) y los movemos arbitrariamente hacia abajo, la mediana se puede mover tan bajo como queramos, pero la moda no cambia un ápice.

Por otro lado, si se toman los valores más grandes de 6 (8, 7 y cuatro de los 6) y se mueven hacia arriba, el modo puede desplazarse hacia arriba arbitrariamente, pero la mediana no cambia.

La afirmación no puede ser cierta en toda su generalidad, como muestra su conjunto de datos de ejemplo. Con un poco de cuidado podemos inventar situaciones en las que la moda de las variables aleatorias discretas sea más sensible o menos sensible que la mediana en ambas direcciones.

Answer 2

Es pertinente un ejemplo sencillo de una distribución binomial. Aquí el código (de Mata de Stata) debería ser bastante transparente:

. mata : (0..5)', binomialp(5, (0..5), 0.2)'
            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

La probabilidad de éxito aquí es de 0,2 y se tabula la probabilidad de 0, 1, 2, 3, 4, 5 éxitos en 5 ensayos. La media es naturalmente 0,2 $\times$ 5 = 1. Obsérvese que la moda también es 1 y la mediana también es 1 (probabilidad acumulada 0,32768 para valores $\le$ 0, 0,72864 para los valores $\le$ 1).

Se suele decir que en una distribución simétrica unimodal la media, la mediana y la moda coinciden. (Los autores menos cuidadosos omiten "unimodal" y se olvidan del camello u otras formas simétricas con dos o un número par de jorobas). Pero aquí está el quid: Lo contrario no es cierto: que la media, la mediana y la moda sean iguales no implica simetría.

Tanto psicológica como lógicamente, el ejemplo es convincente, ya que nadie con mentalidad estadística descartaría (espero) el binomio como un ejemplo patológico o artificioso.