Muestran que para $f(x)=x^2+x$ el % de asignación $f: A \rightarrow B$es una biyección.

Question

Aquí es un problema en el que estoy trabajando y unas piezas están haciendo campaña en mí.

Problema

Suponga $A=[-\frac{1}{2},\infty), B=[-\frac{1}{4},\infty)$, donde, por $a \in \mathbb{R}, [a,\infty)=\{x\in\mathbb{R}|x\geq a\}.$ Considera $f:A \rightarrow B$ definido por $f(x)=x^2+x, x\in A.$

1. Mostrar que $f$ es, de hecho, en $B$, es decir, mostrar que si $x \in A$$f(x) \in B$.

2. Mostrar que $f$ es de uno a uno.

3. Mostrar que $f$ mapas en $B$, es decir, muestran que para $y\in B$ hay $x \in A$ tal que $f(x)=y$. Para su elección de $x$, verificar directamente que $f(x)=y$.

Mi intento

1. Originalmente se pensaba que iba a tener que hacer algo complicado de hacer esto, pero en este momento estoy pensando que es bastante simple. No es verdad que $f:A \rightarrow B$, por definición, implica que cualquier elemento de a $A$ es asignado a un elemento de $B$? Si es así me imagino que no hay ninguna necesidad de una explicación distinta citando la definición, pero al mismo tiempo estoy un poco indeciso como parece que tal vez hay una manera de comprobarlo más.

2. Empiezo dejando $x_1,x_2 \in [-\frac{1}{2},\infty)$ tal que $f(x_1)=f(x_2)$. Entonces, podemos decir que $x_1^2+x_1=x_2^2+x_2$. El objetivo es mostrar que la $x_1=x_2$, pero estoy atascado en el álgebra sobre cómo mostrar que. Traté de factoring en varias formas, tales como $$x_1(x_1+1)=x_2(x_2+1)$$ y $$(x_1-x_2)(x_1+x_2)+x_1-x_2=0$$ pero nada es saltar en mí para simplificar a $x_1=x_2$.

3. La solución de $y=x^2+x$ $x$ obtenemos $x=\pm \sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}.$ Si luego nos vamos a $y\in B$, podemos ver que $y\geq-\frac{1}{4}$. Si aplicamos nuestra función anterior de $y$ a nuestro desigualdad obtenemos que $\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\geq-\frac{1}{2}$, nos dice que $x=\sqrt{y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\in A$. Me verificar esto muestra si $x=-\frac{1}{2}$ $y=-\frac{1}{4}$ y que si $y=-\frac{1}{4}$$x=-\frac{1}{2}$. Es esto suficiente?

Answer 1

Una forma elemental.

(1) para demostrar que es inyectiva $f$, que $x,y\in A$ tal que $x \neq y$. Si $x^{2}+x = y^{2}+y$, entonces el $(x-y)(x+y) = y-x$, es decir, tenemos $x+y = -1$. Pero esto es imposible desde $x\neq y$ y $x,y \geq -1/2$. Así $f: A \to B$ es inyectiva.

(2) para mostrar $f$ es sobreyectiva, que $z \in B$. Dicen que hay un $x \in A$ tal que $f(x) = x^{2}+x = z$. Pero, desde $x^{2}+x = z$ $x \in A$ si y sólo si $x = \frac{-1}{2} \pm \sqrt{1+4z}$ y desde $z \geq -1/4$, así $x \geq -1/2$ y nosotros estamos hecho.

Answer 2

Por Una parte, ellos quieren que usted para confirmar el rango es exacta, que lo que pones en de $A$ realidad se llevará a $B$ y no a alguna otra parte de $\mathbb R$. Por eso, sólo puede usar la derivada: $f'(x)=2x+1$, por lo tanto en $A$, $f'(x)\ge 0$, por lo tanto es creciente, y el valor más pequeño en $f(\frac {-1} 2)=\frac {-1} {4}$

B: una vez más el uso de la derivada, $f'(x)>0$ para todos, pero el punto de partida dice que la función es estrictamente creciente y estrictamente creciente funciones están 1-1.

C: Sí, eso es todo, demostrar que para cualquier número $y\in B$ hay una preimagen en $A$

No cálculo versiones; a: Esta es la mitad derecha de la parábola, el vértice está en $-\frac 1 2$, por lo que su rango es el vértice hasta el infinito (lo Mismo para C, sinceramente)

B: Este es el derecho a la mitad de una parábola, por lo que pasa la "línea horizontal" de la prueba de un 1-1 función.

Answer 3

$x^2+x=y^2+y$ luego $(x+\frac{1}{2})^2=(y+\frac{1}{2})^2$así $(x+\frac{1}{2})=(y+\frac{1}{2})$que $x=y$o % de % de $(x+\frac{1}{2})=-(y+\frac{1}{2})$ $x+y=-1$ por el dominio que da $x=y=\dfrac{-1}{2}$

Answer 4

1. Usted tiene que comprobar que si llevas algo de $A$, que se obtiene en $B$, a priori, esta aplicación termina en $\mathbb{R}$, pero se puede limitar a la $B$.

2. Buen intento, pero no parece funcionar. Calcular la derivada (funciona).

3. Yo no entiendo muy bien lo que están haciendo. Tome $y \in B$. Para $y\in B-\{\frac{1}{4}\}$ hay dos soluciones reales de la ecuación de $x^2 + x - y = 0$ (check it!). Sólo uno de ellos es en $B$. Tienes que resolver la ecuación anterior, tomar la una en $B$, después de aplicar $f$ a la solución y compruebe si funciona. Luego Trabajo en el caso de $y=\frac{1}{4}$ por separado, como usted ha hecho en su intento.

EDIT : Ah, muy bien, ahora entiendo lo que has hecho en 3... Sí, eso es, acabo de encontrar la forma en que usted escribió es un poco raro.