Demostrando una curiosa fórmula de $\pi$ ?

Question

Recientemente me he encontrado con esta afirmación sin pruebas.

$$\pi = 128 \arctan\frac{1}{40} -4\arctan\frac{1}{239} -16\arctan\frac{1}{515} -32\arctan\frac{1}{4030} -64\arctan\frac{1}{32060}$$

Pondría mi enfoque pero, para ser franco, no he llegado a ninguna parte con esto. ¿Cómo se hace?

Answer 1

Utilice el hecho de que $\arctan(1/a)$ es el argumento de $a+i$ y que los argumentos de los números complejos se suman al multiplicarlos.

Según WolframAlpha , tenemos $$\begin{aligned} &\frac{(40+i)^{128}}{(239+i)^4 (515+i)^{16} (4030+i)^{32} (32060+i)^{64}} = \\ &-1 / 37403944359352749280528518983232679702 \\ & 01985315749502348525466597837636105197 \\ & 87830439618227322115549670041854205583 \\ & 78215314658650047572142913167759891935 \\ & 23573829633433227264657819301199042671 \\ & 95356826263444502459300305177919563475 \\ & 022474784673838736016384 . \end{aligned}$$ Como se trata de un número negativo, tiene argumento $\pi$ y esto debe coincidir con su suma, excepto que pueden diferir en $2\pi n$ para algún número entero $n$ ya que los argumentos no están definidos de forma única. Pero sólo por la evaluación numérica uno debería estar convencido de que su suma es lo suficientemente cercana a $\pi$ para descartar todas las opciones excepto $n=0$ . Q.E.D.

(Probablemente haya algún argumento mejor que estime los términos de su suma sin recurrir a lo numérico, pero me da un poco de pereza...)