¿Grupo de Galois de $\overline{\mathbb{F}_{p}}$ da información aritmética para campos finitos $K/\mathbb{F}_{p}$?

Question

Deje $\mathbb{F}_{p}$ a ser el campo con $p$ elementos y $\overline{\mathbb{F}_{p}}$ ser su algebraica de cierre.

Por alguna razón, queremos entender la estructura del grupo de Galois de una extensión.

Entonces nos encontramos con que tenemos un isomorfismo topológico de los grupos de $G(\overline{\mathbb{F}_{p}}/\mathbb{F}_{p})\cong\hat{\mathbb{Z}}$.

Mi pregunta es:

La descripción del grupo $G(\overline{\mathbb{F}_{p}}/\mathbb{F}_{p})$ sin duda le da el "subcampo entramado" de $\overline{\mathbb{F}_{p}}$ y esto es bueno.

Por otro lado, como un subcampo de la celosía se puede encontrar muy fácilmente sin el uso de este isomorfismo, y de hecho la mayoría de los libros incluso utilizar este hecho para establecer el isomorfismo.

En vista de este comentario, ¿por qué uno quiere describir una absoluta Galois grupo y por qué es útil saber que, por ejemplo, $\hat{\mathbb{Z}}\cong\prod_{p}\mathbb{Z}_{p}$ donde $\mathbb{Z}_{p}$ indica el $p$-ádico enteros?

Podemos obtener cualquier aritmética información sobre campos finitos $K/\mathbb{F}_{p}$? Muchas gracias.

Answer 1

Yo creo que hay cosas un poco hacia atrás aquí. La prevalencia de $G_{\mathbb F_p}:=\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_p)$ en la teoría de los números no es como un gadget para el estudio de la finitos extensiones de $\mathbb F_p$, ya que, como he dicho, las extensiones de $\mathbb F_p$ son bien entendidos. Más bien, es que nos permiten utilizar lo que sabemos acerca de las extensiones de $\mathbb F_p$ a comprender las extensiones de $\mathbb Q_p$. En particular, existe un isomorfismo natural $$\mathrm{Gal}(\mathbb Q_p^{\text{nr}}/\mathbb Q_p)\cong \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_p),$$ donde $\mathbb Q_p^{\text{nr}}$ denota la máxima unramified extensión de $\mathbb Q_p$.

Deje $G_{\mathbb Q_p} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)$. Si $\sigma \in G_{\mathbb Q_p}$, entonces, la identificación de $\overline{\mathbb F}_p$ con el residuo campo de $\overline{\mathbb Z}_p$, se obtiene una acción de $\sigma$$\overline{\mathbb F}_p$. En particular, hay un mapa $$G_{\mathbb Q_p}\to G_{\mathbb F_p},$$ lo que puede ser demostrado ser surjective (utilizando Hensel del lema). Definir la inercia de grupo $I_p$ a ser el núcleo de este mapa. A continuación, $\mathbb Q_p^{\text{nr}}$ puede ser identificado con el campo fijo $\overline{\mathbb Q}_p^{I_p}$.

Tenemos una breve secuencia exacta $$1\to I_p\to G_{\mathbb Q_p}\to G_{\mathbb F_p}\to 1.$$ Por lo tanto, con el fin de entender $G_{\mathbb Q_p}$, le haría bien a entender $I_p$$G_{\mathbb F_p}$. Aquí, $G_{\mathbb F_p}$ nos dice acerca de la unramified extensiones de $\mathbb Q_p$, e $I_p$ nos dice acerca de la ramificado.

Sabiendo que $G_{\mathbb F_p}\cong \widehat{\mathbb Z}\cong\prod_l\mathbb Z_l$ significa que estamos totalmente de entender $G_{\mathbb F_p}$.

Answer 2

En el último momento, permítanme darles una ilustración sorprendente de lo que he llamado la "functorial" enfoque en mi comentario anterior. Deje $K/ \mathbf Q_p$ ser una extensión determinada de grado $N$, no contiene una primitiva $p$-ésima raíz de 1. Supongamos que alguien viene con un número finito de $p$grupo $G$ y le pide a usted para construir una extensión de Galois $L/K$ grupo $G$. Después de un poco de trabajo duro, usted tiene éxito en hacer esto, y el hombre vuelve con un segundo $p$-grupo haciendo la misma pregunta. Trabajando incluso más duro, empiezan a sospechar que no existe posibilidad de prórroga. A continuación, el hombre vuelve con una tercera $p$-grupo, y esta vez usted puede sacar su pistola, me refiero a su "functorial" arma de fuego, que es un teorema de Safarevic : "El grupo de Galois sobre $K$ de la máxima pro-$p$-extensión de la $K$ es pro-$p$libre de con $N + 1$ generadores". Esto significa que cualquier (resp. no) $p$-grupo de menos (resp. estrictamente más) de lo $N + 1$ generadores puede ser comprendido como el grupo de Galois de la extensión de $K$.

El punto aquí es que, por supuesto, la prueba de la Sh.'s teorema no (no) se basan en explícito construcciones. Como se explica por ejemplo, en H. Koch "teoría de Galois $p$-extensiones", que se basa en Galois cohomology. Para dar una rápida encuesta : para un pro-$p$grupo $\mathcal G$, el mínimo número de generadores (resp. de las relaciones) de $\mathcal G$ es igual a la $\mathbf F_p$-dimensión de la $H^1(\mathcal G,\mathbf F_p)$ (resp. de $H^2$). Si $\mathcal G$ es la máxima pro-$p$-grupo presentó anteriormente, la primera dimensión es fácil de calcular, a partir de la de $K^*/K^{*p}$, que incluso le da un sistema de generadores que consiste en una elevación de la Frobenius automorphism (ver @Mathmo123 la respuesta) y de $N$ automorfismos en la inercia de los subgrupos.La segunda dimensión es la que se muestra a $0$ mediante la adición de $p$-th raíces de 1 a $K$ con el fin de utilizar el grupo de Brauer, a continuación, volver a $K$ la aplicación de cohomological restricción.

Espero que este ejemplo te convenza de la utilidad, sino también la necesidad de la functorial enfoque.