Demuestre que si$z_0$ es una solución para$(2z-1)^{2014}=(2z+1)^{2014}$, entonces$\Re(z_0)=0$

Question

Mostrar que si $z_0$ es una solución a $(2z-1)^{2014}=(2z+1)^{2014}$,$\Re(z_0)=0$.

Mi intento:

$(2z-1)^{2014}=(2z+1)^{2014}\\ \implica \left(\dfrac{2z-1}{2z+1}\right)^{2014}=1=e^{2k\pi i}, k=0 espacio\\ldots \espacio de 2013$

Deje $\omega:=e^{2k\pi i}$

Entonces $\dfrac{2z-1}{2z+1}=\omega\\ \implica 2z-1=\omega(2z+1)\\ \implica 2z-1=2z\omega+\omega\\ \implica 2z-2z\omega=\omega +1\\ \implica z(2-2\omega)=\omega +1\\ \implica z=\dfrac{\omega +1}{2-2\omega}$

es lo que pensé que sería correcto, pero tras una inspección más me di cuenta de que $2-2\omega=0$, por lo que no va a funcionar.

Cualquier sugerencia en cuanto a la búsqueda de $z$?

Answer 1

Como$|2z-1 | = |2z+1|$, esto nos dice que$2z$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de la línea de$-1$ a$1$, IE se encuentra en la línea con la parte real 0.

Answer 2

Si$(2z-1)^{2014}=(2z+1)^{2014}$, las dos partes tienen el mismo valor absoluto, del cual podemos tomar un$2014$ th root, y $$ \begin{align} \left|2z-1\right|&=\left|2z+1\right|\\ \implies(2z-1)(2\bar{z}-1)&=(2z+1)(2\bar{z}+1)\\ 4z\bar{z}-2z-2\bar{z}+1&=4z\bar{z}+2z+2\bar{z}+1\\ -2\left(z+\bar{z}\right)&=2\left(z+\bar{z}\right)\\ -4\Re z&=4\Re z\\ \implies\Re z&=0 \end {align} $$