¿Radio numérica nos ayuda a concluir un operador es isometry parcial y normal?

Question

En libro de Furuta, "Invitación a Linear operadores" allí es un teorema, teorema 2 en 3.7.3, que dice:

Si $T^k=T$ $k\ge 2$ entero y si $w(T)\le 1$, entonces el $T$ es la suma directa de un operador unitario y cero, que es $T$ es isometry parcial y normal.

He intentado varias formas de solucionar esto pero desafortunadamente no pude hacerlo. Ya que necesito la prueba de este teorema, estaré encantado si alguien me pudiera ayudar para él.

Answer 1

El polinomio $p(\lambda)=\lambda(\lambda^{k-1}-1)$ tiene distintas raíces $$ 0,\alpha,\alpha^{2},\cdots,\alpha^{k-1},\;\;\;\; \alfa=e^{2\pi i/(k-1)}. $$ Por lo tanto, $X$ se descompone en forma directa (no necesariamente ortogonal) suma $$ X = M_0\oplus M_1\oplus M_2\oplus \cdots \oplus M_{k-1},\\ M_0=\mathcal{N}(T),\;\;\;M_{j}=\mathcal{N}(T-\alpha^{j}I). $$ Con el fin de mostrar que el $T$ es normal en $M_1\oplus M_2\oplus\cdots\oplus M_{k-1}$, es necesario y suficiente para mostrar que $M_l\perp M_m$$l \ne m$. Deje $x_l \in M_l$ $x_m \in M_m$ ser vectores unitarios con $l \ne m$. Entonces \begin{align} &(T(x_l+\rho e^{i\theta}x_m),x_l+\rho e^{i\theta}x_m) \\ & =\alpha^{l}+\rho e^{-i\theta}\alpha^{l}(x_l,x_m)+\rho e^{i\theta}\alpha^{m}(x_m,x_l)+\rho^{2}\alpha^{m} \\ & = \alpha^{l}+\rho^{2}\alpha^{m}+\rho\alpha^{l}e^{-i\theta}(x_l,x_m)+\rho\alpha^{m}\overline{e^{-i\theta}(x_l,x_m)} \\ & = \alpha^{l}+\rho^{2}\alpha^{m}+\alpha^{(l+m)/2}2\rho\Re(\alpha^{(l-m)/2}e^{-i\theta}(x_l,x_m)) \\ & = \alpha^{l}\{1+2\rho\alpha^{-(l-m)/2}Re(\alpha^{(l-m)/2}e^{-i\theta}(x_l,x_m))\}+\rho^{2}\alpha^{m}. \end{align} Del mismo modo, $$ \|x_l+\rho e^{i\theta}x_m\|^{2}=1+2\rho\Re(e^{-i\theta}(x_l,x_m))+\rho^{2} $$ Elija $\theta$, de modo que $\Re(e^{-i\theta}(x_l,x_m))=0$, que es la misma que la elección de $\theta$, de modo que $$ e^{-i\theta}(x_l,x_m)=\pm i|(x_l,x_m)|. $$ Entonces, ignorando $\rho^{2}$ términos (el pensamiento de $\rho$ como pequeñas): $$ \frac{(T(x_l+\rho e^{i\theta}x_m),x_l+\rho e^{i\theta}x_m)}{\|x_l+\rho e^{i\theta}x_m\|^{2}}\approx \alpha^{l}\left(1\2 pm\rho \alpha^{-(l-m)/2}\Im(\alpha^{(l-m)/2})|(x_l,x_m)|\right). $$ El lado derecho puede ser demostrado ser mayor que 1 en magnitud por la elección de $\pm$, si es necesario, a menos que $(x_l,x_m)=0$ o menos $\alpha^{(l-m)/2}=\pm 1$. Por lo $(x_l,x_m)=0$.