Cómo probar que$11,...,111$ no es la suma de dos cuadrados perfectos

Question

Estoy atascado con este problema:

Demuestre que$a=11...111$ no es la suma de dos cuadrados perfectos. Es decir, no hay un par de números enteros ($b$,$c$) por lo que$b^2+c^2=a$. Creo que se supone que debo usar clases de equivalencia de alguna manera, pero no sé cómo abordarlo.

Answer 1

Como$a$ es impar,$b$ y$c$ tienen paridad diferente:$b$ es par y$c$ es impar, por ejemplo.

Entonces$b^2+c^2\equiv 1\pmod 4$, pero$a\equiv 3\pmod 4$.

De hecho, ninguna suma de dos cuadrados termina con$11$.

Answer 2

Es fácil probar que cada número de cuadrado perfecto, cuando está dividido por 4, el resto debe ser 0 o 1. Y ahora la solución es clara.

Answer 3

ps

ps

$$a = \underbrace{1111\dots11}_{n} = \sum^{n-1}_{k=0}10^k= \frac{10^{n}-1}{9} $ $$$\frac{10^{n}-2}{9} +\frac{1}{9} = $ $

Además,$$\underbrace{\left(\frac{\sqrt{10^{n} - 2}}{3}\right)^2}_{b^2}+\underbrace{\left(\frac{1}{3}\right)^2}_{c^2}= a$ no es la suma de dos cuadrados perfectos. $$b, c \notin \mathbb{Z}$

Answer 4

$a$ tampoco es la suma de tres cuadrados perfectos una vez que termina en al menos tres dígitos (todos$1$). Como$1000$ es divisible por$8,$, tenemos$$ a = bcdefgh111 = 1000 w + 111 \equiv 7 \pmod 8 $ $