Lo has adivinado es correcta, los valores discretos conducir a un número discreto de funciones propias, pero permítanme decir las cosas un poco más de precisión.
La función de $Y^m_ℓ$ para un DETERMINADO $ℓ$ y un DETERMINADO $m$ es de hecho una FUNCIÓN de los ángulos $θ$$φ$. Sin embargo, para cada una de las $ℓ$, y para cada una de las $m$, tenemos OTRA función.
Ahora, vamos a tomar un ejemplo y ver cómo llegamos a los vectores. Vamos a tomar el átomo de hidrógeno, el nivel de $n = 2$. Permítanme caso omiso de la vuelta, por la simplicidad.
Tenemos dos posibilidades para $ℓ$, es decir,$ℓ= 1$, e $ℓ= 0$.
Ahora, para $ℓ= 0$ sólo hay un valor posible de $m$, es decir, $m = 0$, mientras que para $ℓ= 1$ tenemos 3 posibilidades $m = -1$, $m = 0$, y $m = +1$.
En conjunto, tenemos 4 FUNCIONES de $θ$$φ$, es decir,$Y^0$, $Y^1_{-1}$, $Y^1_0$, y $Y^1_1$ (para más detalles, ver Laplace de la armónicos esféricos).
A veces en nuestros cálculos, es conveniente para que los represente en una forma simplificada, en formato vectorial, sin especificar su dependencia de los ángulos:
$$Y^0 = (1, 0, 0, 0),$$
$$Y^1_{-1} = (0, 1, 0, 0), \qquad
Y^1_0 = (0, 0, 1, 0), \qquad
Y^1_1 = (0, 0, 0, 1),$$
Por ejemplo, cualquier función de onda adecuada para el nivel de hidrógeno $n=2$ puede ser representado como una superposición de los cuatro por encima de los vectores. I. e. en el espacio de onda de las funciones del nivel de $n = 2$, el cuatro por encima de los vectores forman una BASE.
La diferencia de este ejemplo, el impulso lineal admite CONTINUA, no discreta de valores propios. Sus funciones propias son de la forma $e^{ipx/ħ}$, donde el autovalor $p$ tiene valores continuos. No es posible organizar la eigenfunctons como discretos vectores, como hicimos en el caso anterior (para más detalles, consulte la transformada de Fourier).
