Curvas con curvatura constante

Question

¿Además de líneas, círculos y espirales, hay otras de las curvas que tienen una curvatura constante $\kappa$?

Si existe alguno, ¿hay alguno que tiene una fórmula explícita en forma de t = [x (t), y (t), z (t)]?

Answer 1

Sí, por supuesto. Usted acaba de aparece aquellos con curvatura constante y de torsión.

Me gusta pensar en las curvas de curvatura constante en términos del vector de Darboux $$\omega = \tau T + \kappa B$$ que da el eje ángulo de rotación infinitesimal de la curva del marco en cada punto. Aquí $\tau$ es gratis, así que usted puede conseguir diferentes curvas de curvatura constante, cambiando cuánto giro sobre la tangente a medida que viajan a lo largo de la curva.

Usted puede encontrar fórmulas para las curvas de $r(t)$ mediante la resolución de Frenet-Serret ecuaciones: $$\begin{align*} r'(t) &= T(t)\\ T'(t) &= \omega \times T(t)\\ N'(t) &= \omega \times N(t)\\ B'(t) &= \omega \times B(t) \end{align*}$$ que es un sistema de primer orden las ecuaciones diferenciales ordinarias que puede ser integrado adecuadamente los valores iniciales. Si o no $r$ tiene una forma cerrada dependerá de la complejidad de su elección de torsión $\tau(t)$.