¿Es imposible recuperar la multiplicación del enrejado de la división categóricamente?

Question

En esta pregunta se preguntó si la división de la red (es decir, el preorder de la categoría $(\Bbb Z_{>0}, \mid)$) contiene suficiente información categóricamente a recuperar la relación $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)$.

Me respondió que esto es imposible, porque la división de celosía no sabe lo que la multiplicación es; primero tenemos que introducir como un producto tensor.

Sin embargo, si bien parecía intuitivamente obvio que este producto tensor no se puede recuperar de la división de celosía, yo no estaba seguro de cómo probar esto.

Estoy interesado en ambas técnicas generales para probar este tipo de cosas imposibles y una prueba para la situación específica.

Answer 1

Yo sostengo que podemos reconstruir $\mathbb Z_{>0}$ hasta una permutación de la forma $$\prod_i p_i^{a_i}\mapsto \prod_i \pi(p_i)^{a_i}.$$ Dado que este tipo de mapas son homomorphisms de la multiplicativo monoid nos puede reconstruir la multiplicación.

Podemos asociar con cada $x$ el conjunto de la correcta divisores, es decir, $D(x):=\{\,y\in\mathbb Z_{>0}:y\ne x, y\mid x\,\}$.

Identificamos $1$ como el único objeto de $x$$D(x)=\emptyset$.

A continuación podemos identificar el conjunto de los números primos como $$\mathbb P=\{\,x\in\mathbb Z_{>0}:D(x)=\{1\}\,\}.$$

Dado $q\in \mathbb P$ podemos identificar de forma recursiva $q^n$ como el único objeto de $x$$D(x)=\{\,q^i:0\le i<n\,\}$.

Dado $a\in\mathbb Z_{>0}$ y un primer $q$ podemos determinar $v_q(a)$ como máximo $n$ tal que $q^n\mid a$.

Por último, dada la $a,b\in\mathbb Z_{>0}$ podemos identificar a $ab$ como el único objeto de $x$ $v_q(x)=v_q(a)+v_q(b)$ para todos los números primos $q$.