He leído lo siguiente en el artículo de Wikipedia sobre variedades algebraicas:
Probado alrededor del año 1800, el teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría, mostrando que un monic polinomio en una variable con coeficientes complejos (algebraica de objeto) está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico).
Puede alguien explicar por qué "el conjunto de sus raíces" se llama geométrica del objeto?
El conjunto de raíces de un polinomio complejo en una variable en sólo un subconjunto finito del plano, que no parece ser interesante geométricamente - pero sin duda la geometría siempre ha estudiado puntos en el plano-"punto" de ser uno de los de Euclides sin definir términos. Tal vez también es útil darse cuenta de que sistemas de raíces de polinomios en dos variables sobre los números verdaderos ejemplos de elipses y parábolas, hipérbolas, algunos objetos geométricos sorprendentemente más.
Por ejemplo, con el tiempo, construible puntos en el plano (incontrolables de regla y compás) resultada para ser algebraica y caracterizado a través de la torre de los campos.
Como el tiempo que tienen para hacer esta pregunta, supongo que nunca he visto en un curso de geometría algebraica o avanzados de álgebra abstracta, así que voy a intentar explicar por no utilizar la "fantasía" palabras", aquí voy...
Primero de todo, las raíces de ecuaciones polinómicas no son "algebraica de los objetos", en cualquier libro de álgebra abstracta definimos polinomios y, a continuación, definimos funciones polinómicas (trate de no pensar en los gráficos de las funciones de aquí) y, a continuación, definimos los ceros de funciones polinómicas, es decir, las raíces de una ecuación polinómica. Ninguna mención de que la geometría de aquí!
PERO... hay un contexto específico donde este extracto de la Wikipedia es correcto, pero esto es "sólo" una cuestión de interpretación.
Considerar, por ejemplo, los siguientes polinomios:
$$(i)\ x^2+y^2-1 = 0$$ $$(ii)\ y-x^2 = 0$$ $$(iii)\ y^2-x^3+x = 0$$
Cuando tratamos de encontrar soluciones de estas ecuaciones en el conjunto de $\mathbb{R}^2$, es decir, el avión real, las soluciones tienen un "buen" formato, son muy "geométrica", por ejemplo, el conjunto de soluciones de $(i)$ es un círculo, $(ii)$ es una parábola y $(iii)$ es un ejemplo de lo que llamamos curvas elípticas.
Ahora considere los siguientes polinomios:
$$(I)\ x^2+y^2=0$$ $$(II)\ x^2+y^2+1=0$$
¿Qué sucede ahora ? El único "punto" en $\mathbb{R}^2$ que es la solución de $(I)$ es el origen, $(0,0)$, peor aún es el caso de $(II)$, no hay ninguna solución en $\mathbb{R}^2$.
Pero si estamos en la búsqueda de soluciones en el plano complejo $\mathbb{C}^2$ nos encontramos con que:
$$(I)\ x^2+y^2=0 \Rightarrow (x+iy)(x-iy)=0$$ $$(II)\ x^2+y^2+1=0 \Rightarrow u = ix, \ v = iy \Rightarrow u^2+v^2-1=0$$
ahora tiene una infinidad de soluciones y nosotros "restaurar" la geometría de las soluciones de conjunto, por ejemplo, $(I)$ es la unión de dos líneas y $(II)$ es un círculo!
Así, mediante el uso de números complejos que siempre (por el teorema fundamental del álgebra) obtener "agradable" conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas, y en este sentido de cero de polinomios son objetos geométricos.
Observación Final: el de Arriba me dijo que esto es "sólo" una cuestión de interpretación, pero esto de cambiar un poco en el punto de vista nos da una de las más gloriosas y apasionante rama de las matemáticas, esto nos da la geometría algebraica.
Creo que esta es una de las más modernas de vista de por qué las raíces de un polinomio son los objetos geométricos.
Supongamos, por simplicidad, que estamos hablando de un polinomio irreducible $f(T)\in\mathbb{Q}[T]$. Considere el campo $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ donde $\alpha$ es una raíz de $f$. Entonces, la moderna geometría algebraica tiene una manera de asociar un objeto geométrico a esta situación. Es decir, que hemos asociado a la extensión de $K/\mathbb{Q}$ la asignación de puntos de $\text{Spec}(K)\to\text{Spec}(\mathbb{Q})$.
Dicho esto, desde la geometría sólo ocurre en el algebraicamente cerrado ajuste, todavía no estamos viendo la imagen geométrica. Para remediar esto, cambio de base a este valor mediante la consideración de un punto geométrico $\text{Spec}(\overline{\mathbb{Q}})\to\text{Spec}(\mathbb{Q})$. Yo se lo dejo a usted para comprobar que si el diagrama siguiente es fibrado:
$$\begin{matrix}X & \to & \text{Spec}(K)\\ \downarrow & & \downarrow\\ \text{Spec}(\overline{\mathbb{Q}}) & \to & \text{Spec}(\mathbb{Q})\end{matrix}$$
a continuación, $X$ puede ser identificado con un conjunto discreto de puntos, uno correspondiente a cada raíz de $f$.
Por lo tanto, las raíces de $f$ puede ser visto como la geometría de la fibra de $\text{Spec}(K)\to\text{Spec}(\mathbb{Q})$. Más generalmente, se puede comprobar que si $L/K$ es un finita de Galois de la extensión, entonces la geometría de la fibra de la asociada a la asignación de los espectros es un discontinuo de la unión de puntos, donde los puntos se corresponden con el grupo de Galois de $L/K$. En esta configuración, incluso podemos ver el grupo de Galois es algún tipo de cubierta transformaciones, actuando (transitivamente!) en la geometría de la fibra.
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