Movimiento en una pista sinusoidal vertical sin fricción

Question

Hoy, durante la lección, mi profesor de mecánica proporciona un diagrama de un "bowl" de la siguiente forma:

La parte superior izquierda y en la parte superior derecha tienen la misma altura, y la parte superior derecha es horizontal.

Afirmó que si se libera un punto de partículas desde la parte superior de la pista de la izquierda, va a tomar una infinita cantidad de tiempo para llegar a la parte superior derecha. La razón de ello es que si el tiempo es finito, y cuando la inversa, la partícula se iniciará a partir de equilibrio, pero espontáneamente realiza el movimiento, lo cual es imposible.

Esta razón parece demasiado vaga para mí entender en la reclamación, por lo que traté de demostrar (o refutar) matemáticamente, pero no he logrado hacerlo. ¿Alguien puede explicar esto a mí?

Las siguientes son mis intentos de abordar el problema.

Puesto que no se especifican los detalles de su forma, como un ejemplo que construyó un recipiente que es una parábola $x^2$ a la izquierda hasta el fondo, luego de un $1-\cos(x)$ a la derecha.

Mi primer intento fue hacer caso omiso de la parte izquierda y a considerar que tienen una velocidad inicial de $\sqrt{2gh}$ en la parte inferior de la taza. Denota el desplazamiento horizontal como $x$, le expresó $\theta$, el ángulo que forma la tangente a $x$ hace con la horizontal, como una función de $x$. ($\tan\theta=\frac{dy}{dx}=\sin x$.) La resolución de las fuerzas de la muestra que la fuerza hacia abajo de la pendiente se $mg\sin\theta$, por lo que la aceleración en cualquier punto debe ser $g\sin(\arctan(\sin x))$, lo cual no es muy útil cuando trato de integrar...

Después de la lectura del Punto de partícula que se mueve sin fricción en un cerro semicircular, también he tratado de expresar la energía en cualquier punto como una función del ángulo, pero no he logrado encontrar una expresión para la velocidad como una función del ángulo.

(De hecho en el principio I el modelado de la forma del tazón de fuente como parte de la función de $-e^{-x}\cos x$, pero me di por vencido.)

Answer 1

El potencial puede ser escrito $V(x)=mg(1-\cos x)$, por lo que la energía total del sistema se puede escribir

$$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+mg(1-\cos x)$$

La diferenciación respecto de x

$$ m\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx}+mg\sin x=0 $$ $$ \dot{x}d\dot{x}=-g\sin x dx $$

$$ \dot{x}^2=2g\cos x+C $$

Requerimos $\dot{x}=0$$x=\pi$, lo $C=2g$

$$ \frac{dx}{dt}=\sqrt{2g(\cos x+1)} $$

$$ \frac{dx}{\sqrt{\cos x+1}}=\sqrt{2g}dt $$

de modo que el tiempo para llegar a $x=\pi$ es

$$ T(\pi)=\lim_{x\to\pi}\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{x'=0}^{x'=x}\frac{dx'}{\sqrt{\cos(x')+1}} $$

que diverge es decir, de un tiempo infinito. En un sentido, lo que esto está diciendo en realidad es que la partícula nunca llegue a $x=\pi$. Esto nos permite mantener que la inversión de tiempo, se producirá el reverso de la trayectoria. Si la partícula fuera a llegar a $x=\pi$ en tiempo finito, inversión de tiempo acaba de producir la partícula sentó muy bien en la parte superior de la colina, por lo que hay una contradicción y la partícula nunca llega a la parte superior.

Answer 2

Su mecánica profesor de la prueba indirecta se basa en la i) el tiempo de reversión de la simetría y ii) el determinismo de la mecánica Newtoniana.

La primera idea es que podamos estudiar el tiempo invertido problema. En la prueba indirecta suponemos que el tiempo de viaje es finito. y, por tanto, podemos asignar el tiempo inicial (por el tiempo invertido problema) a $t=0$.

Deje $z$-eje apunta hacia arriba, deje $s$ ser el arclength de la lisa (tiempo invertido) horizontal punto de partida en $t=0$, y vamos a

$$\tag{1} z~=~-h(s)$$

indicar el perfil de la colina, como una función de $h$ de arclength $s$ tal que

$$\tag{2} h(s\!=\!0)~=~0.$$

Entonces la energía mecánica $E$ de los punto de la partícula está dada como

$$\tag{3} 0~=~\frac{E}{m}~=~\frac{\dot{s}^2}{2}+gz.$$

En la primera igualdad de (3), se utilizaron las condiciones iniciales

$$\tag{4} \qquad s(t\!=\!0)~=~0, \qquad \dot{s}(t\!=\!0)~=~0.$$

La combinación de la nca. (1) y (3) el rendimiento de los siguientes de primer orden de la educación a distancia

$$\tag{5} \dot{s}(t)~=~\sqrt{2gh(s(t))} ,\qquad s(t\!=\!0)~=~0. $$

Tenga en cuenta que el valor inicial del problema (5) tiene la solución trivial

$$\tag{6} s(t)~\equiv~ 0. $$

La segunda idea es la de utilizar el local de la unicidad del problema de valor inicial (5) para argumentar que la solución trivial (6) es la única solución. Esto estaría en contradicción con el hecho de que el punto de partícula se mueve entre diferentes puntos. Una condición suficiente para locales singularidad es que si el mapa $s\mapsto \sqrt{h(s)}$ es Lipschitz continua.

Ver también esta relacionada con Phys.SE post acerca de Norton de la cúpula.

Answer 3

No hay ningún efecto físico actual que le permitiría a la dirección de tiempo solo por ver este proceso de principio a fin (suponiendo que el campo gravitatorio es homogéneo y el sistema de fricción menos). Por lo tanto, si toma una cantidad infinita de tiempo en una dirección, debe tener la misma cantidad de tiempo en el otro. Tu profesor tiene razón.