¿Qué simetría está asociada a la conservación del cero de Lipkin?

Question

El 'zilch' de un campo electromagnético es el tensor $$ Z^{\mu}_{\ \ \ \nu\rho}=^*\!\!F^{\mu\lambda}F_{\lambda\nu,\rho}-F^{\mu\lambda}\,{}^*\!F_{\lambda\nu,\rho} \tag1 $$ dado en términos del tensor de campo electromagnético $F^{\mu\nu}$ (y por lo tanto en términos de los campos eléctricos y magnéticos $E^i=F^{0i}$ y $B^i=\tfrac12 \epsilon^{ijk}F_{jk}$ ) y su dual $^*\!F^{\mu\nu}=\tfrac12 \epsilon^{\mu\nu \rho\sigma} F_{\rho\sigma}$ con comas para indicar las derivadas parciales. Este tensor se conserva en el vacío, en el sentido de que $$ \partial_\mu Z^{\mu}_{\ \ \ \nu\rho} =\partial^\nu Z^{\mu}_{\ \ \ \nu\rho} =\partial^\rho Z^{\mu}_{\ \ \ \nu\rho} =0 $$ siempre que $F^{\mu\nu}$ satisface las ecuaciones de Maxwell en el vacío, $$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \quad\text{and}\quad \partial_\mu{}^*\! F^{\mu\nu}=0. $$

Esta ley de conservación, que da en total diez cargas conservadas, fue encontrada por Lipkin [ J. Math. Phys. 5 , 696 (1964) ], aunque la forma $(1)$ fue dada por primera vez por Kibble [ J. Math. Phys. 6 , 1022 (1965) ]. Desde su descubrimiento, el zilch ha sido aparentemente un poco un niño impar, con su interpretación física un poco fuera de lugar, pero es definitivamente una parte integral del marco más grande de las leyes de conservación del campo EM.

Para concretar un poco más, el componente más accesible del zilch es $Z^{000}$ que ha sido llamado la quiralidad óptica: $$ C=Z^0_{\ \ \ 00}=\mathbf B\cdot\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}-\mathbf E\cdot\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}. $$ Se trata de un pseudoescalar (impar bajo paridad), pero por lo demás es bastante similar a la densidad de energía electromagnética, por lo que definitivamente hay mucha participación de la acción del grupo de Lorentz en esta cantidad.

En general, las leyes de conservación tienden a tener una estrecha asociación con las propiedades de simetría del sistema. El teorema de Noether proporciona una ley de conservación para cada simetría adecuada, y tiene una contrapartida que garantiza la existencia de simetrías dadas las leyes de conservación adecuadas, aunque parece que la situación es más complicada para las teorías gauge .

Me gustaría saber cómo se aplica este principio al tensor de Lipkin zilch. (En particular, si no existe tal simetría, me gustaría un argumento claro y convincente de por qué es así). La bibliografía no es especialmente clara ni (para mí) fácil de descifrar, así que creo que merece la pena preguntarlo directamente, para que quede constancia de una respuesta clara: ¿qué simetría del campo electromagnético está asociada a la conservación del tensor de zilch de Lipkin? Además, ¿cómo se relaciona exactamente esta simetría con la ley de conservación? ¿A través de una aplicación directa del teorema de Noether, o hay más sutilezas en juego?

He hecho algunas incursiones en la literatura y estoy feliz de discutir lo que he leído ya y lo que no he encontrado todavía, pero creo que es probablemente lo mejor si dejo esta pregunta limpia por ahora.

Answer 1

Esta respuesta seguirá en su mayoría este excelente (¡y bastante legible!) documento , señalado por el propio Emilio, en la exposición. Este es otro documento que contiene consideraciones similares. Para un debate más extenso sobre este tema y otros estrechamente relacionados, véase esta sala de chat .

Hay una serie de artículos que hacen todo tipo de afirmaciones sobre cómo se puede (intentar) derivar el tensor de cero como una cantidad conservada asociada a una simetría: La mayor parte de la literatura relevante está relacionada con esta cuestión o con otra pregunta reciente de Emilio sobre el mismo tema .

La dualidad electromagnética y la elección de una acción

Hojeando la literatura, queda claro que la conservación del tensor zilch tiene algo que tiene que ver con las llamadas transformaciones de dualidad electromagnética. Es bien sabido que las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de la siguiente forma:

$$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \qquad \qquad \partial_\mu {*F}^{\mu\nu}=0 $$

donde definimos el Hodge dual del tensor de intensidad de campo electromagnético (o curvatura) $F_{\mu\nu}$ mediante la ecuación ${*F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$ . Esta forma de las ecuaciones hace evidente que son simétricas bajo una transformación de la forma

$$\begin{pmatrix} F_{\mu\nu} \\ {*F}_{\mu\nu}\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} aF_{\mu\nu}+b\:{*F}_{\mu\nu} \\ c\:{*F}_{\mu\nu}+ d F_{\mu\nu}\end{pmatrix} $$

En particular, si la matriz de transformación corresponde a un elemento de $\rm SO(2)$ entonces decimos que la transformación es una rotación de la dualidad electromagnética . Ahora, es bonito que las ecuaciones de movimiento posean esta simetría pero una inspección más cercana muestra que, de hecho, la acción estándar de Maxwell

$$ S=-\frac{1}{4}\int\mathrm d^4 x F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

es no invariante bajo una rotación de dualidad infinitesimal

$$ \begin{pmatrix} F_{\mu\nu}\\{*F}_{\mu\nu}\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}F_{\mu\nu}-\theta \:{*F}_{\mu\nu} \\ {*F}_{\mu\nu}+\theta F_{\mu\nu} \end{pmatrix}$$

Esta es una forma de motivar un cambio de acción a uno que hace manifiestan esta simetría de las ecuaciones de movimiento: Entonces se puede esperar también derivar el tensor de zilch como una corriente conservada de alguna simetría relacionada con la dualidad.

Se pueden hacer diferentes elecciones para un Lagrangiano alternativo, pero el documento que enlazo al principio de esta respuesta presenta una opción especialmente sencilla y claramente motivada: Intentamos considerar el tensor de intensidad de campo dual como una variable independiente, la llamamos $G_{\mu\nu}$ y formar un Lagrangiano que trate $F_{\mu\nu}$ y su dual de forma simétrica. Entonces, si tenemos en cuenta la restricción de que $G_{\mu\nu}$ es realmente el dual de $F_{\mu\nu}$ cuando realizamos transformaciones en los campos, podemos obtener un tratamiento consistente mientras tenemos un Lagrangiano que es manifiestamente invariante de la dualidad.

Para ello, introducimos una segunda, dual ( eléctrico ) de cuatro potenciales (además de los habituales $A^\mu$ ), y llamarlo $C^\mu$ . Podemos formar el tensor de intensidad de campo asociado

$$ G^{\mu\nu}=\partial^{[\mu}C^{\nu]}(\equiv *F^{\mu\nu})$$

Una elección natural para un nuevo lagrangiano que sustituya al lagrangiano estándar de Maxwell es entonces

$$ \mathcal L=-\frac{1}{8}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+G_{\mu\nu}G^{\mu\nu}) $$

Esto es claramente invariante bajo una rotación de dualidad, que toma la siguiente forma:

$$A^\mu\mapsto A^\mu\cos\theta -C^\mu\sin\theta \qquad \qquad C^\mu\mapsto C^\mu\cos\theta +A^\mu\sin\theta$$

Además, observamos que este Lagrangiano también da lugar a las ecuaciones habituales que rigen la electrodinámica (tras imponer la restricción $G_{\mu\nu}=*F_{\mu\nu}$ ya que la ecuación de Euler-Lagrange decía:

$$ \partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \qquad \qquad \partial_\mu G^{\mu\nu}=0 $$

Corrientes generales de Noether (con ejemplo)

Es sencillo derivar (y esto también se lleva a cabo explícitamente en el documento que estoy siguiendo) que bajo una variación general de los potenciales

$$ A^\mu\mapsto A'^\mu=A^\mu+\delta A^\mu \qquad \qquad C^\mu\mapsto C'^\mu=C^\mu+\delta C^\mu $$

la variación del Lagrangiano es

$$\tag{$\star$} \delta \mathcal L = \frac{1}{2}\partial_\nu (F^{\mu\nu}\delta A_\mu+ G^{\mu\nu}\delta C_\mu) $$

Por supuesto, tenemos que tener en cuenta nuestra relación entre $G_{\mu\nu}$ y $F_{\mu\nu}$ en todo momento, de ahí que debamos imponer que nuestra transformación no dejar la superficie de la restricción es decir $\partial_{[\mu}C'_{\nu]}\equiv \frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\partial^{[\alpha}A'^{\beta]}$ . Cuando esto se satisface, también obtenemos una simetría del nuevo Lagrangiano (como se demuestra explícitamente en el artículo que he enlazado).

Respondiendo a una primera y obvia pregunta, utilizamos la ecuación ( $\star$ ) para encontrar la corriente conservada asociada a una rotación de dualidad infinitesimal:

Obtenemos

$$\delta \mathcal L = \frac{\theta}{2}\partial_\nu(-F^{\mu\nu}C_\mu + G^{\mu\nu}A_\mu)\equiv 0 $$

y, por tanto, el requisito de que $\delta \mathcal L$ desaparece (¡como debe ser, por una simetría de la teoría!) produce una corriente conservada

$$ \partial_\nu \kappa^\nu=0 \qquad \qquad \kappa^\nu=G^{\mu\nu}A_\mu - F^{\mu\nu}C_\mu$$

La carga conservada que define,

$$Q_\kappa=\int \mathrm d^3 x \kappa^0$$

puede demostrarse que es simplemente el helicidad óptica pero no me detendré en los detalles de esto. En su lugar, seguimos adelante hacia nuestro objetivo final:

El tensor de zilch como corriente de Noether

Para conectarse al tensor zilch necesitamos una simetría un poco más oscura. Sin embargo, esta transformación tiene cierto parecido con la transformación de dualidad, y puede verse como una variación quizá no del todo natural de un tema. Viene dada por:

$$A_\mu\mapsto A_\mu-\xi^{\alpha\beta}\partial_\alpha G_{\beta\mu} \qquad\qquad C_\mu\mapsto C_\mu+\xi^{\alpha\beta}\partial_\alpha F_{\beta\mu} $$

Para ver que esto define efectivamente una simetría de las ecuaciones de Maxwell, observamos que a nivel de los tensores de campo, induce la transformación

$$F_{\mu\nu}\mapsto F_{\mu\nu}-\xi^{\alpha\beta}\partial_\alpha\partial_\beta G_{\mu\nu} \qquad\qquad G_{\mu\nu}\mapsto G_{\mu\nu}+\xi^{\alpha\beta}\partial_\alpha\partial_\beta F_{\mu\nu} $$

Vemos que $\xi^{\alpha\beta}$ es simétrica en sus índices (esto es forzado por las derivadas que aparecen, y por lo tanto no es una suposición adicional). Tomando la divergencia de ambos tensores transformados y utilizando las ecuaciones de movimiento de ambos $F_{\mu\nu}$ y $G_{\mu\nu}$ en cada ecuación, vemos que los nuevos tensores de curvatura siguen satisfaciendo las ecuaciones de movimiento. Aplicando la ecuación ( $\star$ ) nos lleva ahora a concluir que:

\begin {align*} \delta \mathcal L &= \frac {1}{2} \partial_\nu (-F^{ \mu\nu } \xi ^{ \alpha\beta } \partial_\alpha G_{ \beta\mu }+G^{ \mu\nu } \xi ^{ \alpha\beta } \partial_\alpha F_{ \beta\mu }) = \frac { \xi ^{ \alpha\beta }}{2} \partial_\nu (G^{ \mu\nu } \partial_\alpha F_{ \beta\mu } - F^{ \mu\nu } \partial_\alpha G_{ \beta\mu }) \\ &= \frac { \xi ^{ \alpha\beta }}{2} \partial_\nu Z^ \nu_ { \beta\alpha } \equiv 0 \end {align*}

Desde $\xi^{\alpha\beta}$ no desaparece debemos concluir que $\partial_\nu Z^\nu_{\beta\alpha}=0$ es decir el tensor zilch surge como una corriente conservada asociado a esta simetría.

Answer 2

Ya hay una buena respuesta de Danu. En esta respuesta, damos algunos detalles más sobre cómo aplicar Teorema de Noether .

I) Si asumimos la teoría de que el zilch de Lipkin está asociado a la dualidad EM ${\bf E} \leftrightarrow \pm {\bf B}$ entonces es una observación bien conocida que la densidad lagrangiana EM

$$\tag{A} {\cal L}_1~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}({\bf E}^2-{\bf B}^2), \qquad F_{\mu\nu} ~:=~ d_{[\mu} A_{\nu]},$$

hace no poseen simetría de dualidad EM, a pesar de que las ecuaciones de Maxwell (ME) del vacío sí la poseen. De hecho, la densidad lagrangiana ${\cal L}_1\leftrightarrow -{\cal L}_1$ cambia de signo bajo la dualidad EM. Por tanto, el teorema de Noether no es aplicable a la densidad lagrangiana (A).

II) Respuesta de Danu y Ref. 2 consideran en cambio dos copias de EM,

$$\tag{B} {\cal L}_2 ~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{4}G_{\mu\nu}G^{\mu\nu},\qquad F_{\mu\nu} ~:=~ d_{[\mu} A_{\nu]},\qquad G_{\mu\nu} ~:=~ d_{[\mu} C_{\nu]} ,\qquad $$

y queremos aplicar el teorema de Noether a la formulación de dos potenciales (B) en su lugar. Consideramos la formulación de dos potenciales (B) como un mero truco para explorar las leyes de simetría y conservación; no necesariamente como un modelo físico por derecho propio.

III) En última instancia, queremos aplicar la condición de dualidad

$$ \tag{3.7} G_{\mu\nu} ~=~ (\star F)_{\mu\nu} \qquad \Leftrightarrow\qquad -F_{\mu\nu} ~=~ (\star G)_{\mu\nu}$$

en la Ref. 2, pero no demasiado pronto, ya que esto haría que la densidad lagrangiana

$$\tag{C} \left. {\cal L}_2\right|_{G=\star F}~\equiv~0$$

desaparecen incluso fuera de la cáscara (wrt. el ME) porque el Hodge dual

$$\tag{D} \star^2~=~-1$$

cuadrados a -1 en el espacio de Minkowski 1+3D. La convención de signos de Minkowski $(+,-,-,-)$ sigue a la Ref. 2.] Este importante punto (C) se menciona en la Ref. 2 entre las ecs. (3.11-12).

IV) La definición de OP (1) del zilch de Lipkin concuerda con la ec. (4) de la Ref. 1. Dice así

$$ \tag{4} Z_{\mu\nu,\rho}~=~ F_{\mu\lambda}~ d_{\rho} G_{\nu}{}^{\lambda} -(F\leftrightarrow G) $$

tras la conversión al formalismo de dos potenciales.

La versión del zilch de Lipkin en la ec. (9) de la Ref. 1 es interesante, ya que esa versión muestra más simetría. Se lee

$$ \tag{9} Z_{\mu\nu,\rho} ~=~ \frac{1}{2} \left[ F_{\mu\lambda}~ d_{\rho} G_{\nu}{}^{\lambda} -(F\leftrightarrow G) \right] + (\mu\leftrightarrow \nu) $$

después de corregir un error tipográfico $\rho\leadsto\nu$ en la Ref. 1, y convirtiendo al formalismo de dos potenciales. Para derivar la definición de OP (1) a partir de la ec. (9), hay que utilizar la ec. (2) de la Ref. 1. Se lee

$$ \tag{2} F_{\mu\lambda} G^{\nu\lambda}~=~\frac{1}{4}\delta_{\mu}^{\nu} ~F_{\kappa\lambda}G^{\kappa\lambda},$$

que a su vez se basa en la condición de dualidad (3.7).

V) Es sencillo utilizar la definición (9) y las consecuencias

$$ \tag{10}\Box F^{\mu\nu}~\approx~0, \qquad \Box G^{\mu\nu}~\approx~0, $$

de las ecuaciones de Maxwell (ME)

$$ \tag{3} d_{\mu}F^{\mu\nu}~\approx~0, \qquad d_{\mu}G^{\mu\nu}~\approx~0, $$

para derivar la primera

$$ \tag{11} d_\rho Z_{\mu\nu}{}^{\rho}~\stackrel{(9)+(10)}{\approx}~0$$

de las tres leyes de conservación en la cáscara para el zilch de Lipkin. [Aquí el $\approx$ significa igualdad módulo e.o.m. Las palabras en la cáscara y fuera de la concha se refieren a si se satisfacen o no los e.o.m.].

VI) Ref. 2 considera la transformación infinitesimal

$$\tag{6.20} \delta A_{\alpha}~=~\xi^{\mu\nu}d_{\mu} G_{\nu\alpha}, \qquad \delta C_{\alpha}~=~-\xi^{\mu\nu}d_{\mu} F_{\nu\alpha}, $$

donde $\xi^{\mu\nu}$ son (no necesariamente $\mu\leftrightarrow \nu$ simétricos) parámetros infinitesimales. Esto implica

$$\tag{6.21} \delta F_{\alpha\beta} ~\stackrel{(B)+(6.20)}{=}~\Delta G_{\alpha\beta}, \qquad \delta G_{\alpha\beta} ~\stackrel{(B)+(6.20)}{=}~-\Delta F_{\alpha\beta}, $$ $$ \Delta~:=~\xi^{\mu\nu}d_{\mu}d_{\nu} ~=~\frac{1}{2}\xi^{\{\mu,\nu\}}d_{\mu}d_{\nu}.\qquad $$

VII) La transformación (6.20) es una cuasi-simetría de la densidad lagrangiana

$$\tag{E} \delta {\cal L}_2 ~\stackrel{(B)+(6.21)}{=}~ \frac{1}{2}G^{\alpha\beta} \Delta F_{\alpha\beta} -(F\leftrightarrow G) ~\stackrel{(F)}{=}~d_{\mu}f^{\mu}(\xi),$$

donde

$$\tag{F} f^{\mu}(\xi)~:=~\frac{1}{4}\xi^{\{\mu,\nu\}}d_{\nu}F_{\alpha\beta} G^{\alpha\beta} -(F\leftrightarrow G)~\stackrel{(3.7)}{=}~0. $$

VIII) La corriente de Noether completa es

$$\tag{G} J^{\alpha}(\xi)~:=~j^{\alpha}(\xi) - f^{\alpha}(\xi)~\stackrel{(F)}{=}~j^{\alpha}(\xi), $$

donde $j^{\alpha}(\xi)$ es la corriente de Noether desnuda, véase la ec. (I) más abajo. La correspondiente ley de conservación en la cáscara dice

$$\tag{H} d_{\alpha} J^{\alpha}(\xi)~\approx~0.$$

La corriente de Noether desnuda se convierte en el zilch de Lipkin (4)

$$ j^{\alpha}(\xi) ~:=~\frac{\partial{\cal L}_2}{\partial A_{\beta,\alpha}} \delta A_{\beta} +\frac{\partial{\cal L}_2}{\partial C_{\beta,\alpha}} \delta C_{\beta} ~\stackrel{(B)+(6.20)}{=}~G^{\alpha\beta}\xi^{\mu\nu}d_{\mu} F_{\nu\beta} -(F\leftrightarrow G)$$ $$\tag{I}~\stackrel{(4)}{=}~-\xi^{\mu\nu}Z^{\alpha}{}_{\nu,\mu}.$$

IX) En esta respuesta, hemos pospuesto a propósito el uso de la condición de dualidad (3.7) hasta después de establecer la ley de conservación (H).

Si observamos las ecs. (E) y (F), la transformación (6.20) se convierte en una simetría exacta de ${\cal L}_2$ si utilizamos la condición de dualidad (3.7). Recordando la ec. (C), ¡esto no es demasiado sorprendente! Nótese que la transformación (6.20) respeta la condición de dualidad (3.7).

X) En conjunto, la ec. (H) se convierte en la segunda

$$\tag{J} d_{\alpha}Z^{\alpha}{}_{\nu,\mu}~\approx~0$$

de las tres leyes de conservación en la cáscara para el zilch de Lipkin. Por la simetría (9), es también la tercera ley de conservación.

XI) En conclusión, sería interesante ver la ec. (11) como ley de conservación de Noether. También sería interesante desarrollar una ley de conservación que no dependa de la condición de dualidad (3.7). Lo dejamos para el futuro.

Referencias:

1. T.W.B. Kibble, J.Math.Phys. 6 (1965) 1022 .

2. R.P. Cameron y S.M. Barnett, New Journ. Phys. 14 (2012) 123019 .