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f(a) No es lo mismo que encontrar derivado de f(x) y Substituting x=a

Tengo esta duda sobre la diferenciabilidad de la función f(x) x=0 donde

f(x)= \begin{cases}
            x^2 \sin\left(\frac 1 x\right) & x \ne 0\\
            0 & x=0
         \end{casos}

Sabemos que f(x) es Diferenciable en a x=0 y la Pendiente de la tangente en el x=0 es Cero, Ya RHD = LHD

Pero yo soy caer en la confusión de la notación de los muchos libros que se utilizan para la RHD = LHD = f(a)

Debido a f(a) es el valor de la función Derivada en x=a en este caso tenemos

f(x)=cos(1x)+2xsin(1x) So f(0) Does not exist. But since f(x) is differentiable at x=0 the notation says f(0)=0

Así que necesito una aclaración en este ?

13voto

Ya Basha Puntos 130

Cuando usted encuentra que la expresión de la f(x), la expresión que se utiliza para f(x) no es válido para x=0. Por lo tanto, no hay ninguna razón para esperar que la expresión le de f(x) a ser válido parax=0.

Para x=0, es mejor recurrir a la definición: f(0)=lim Aquí hay un gráfico de la función f, cerca del origen:

enter image description here

Usted puede ver cómo cada ola oscila violentamente (me he extendido la y-eje de algunos, por lo que es exagerado), pero como un todo, el gráfico se aplana, como es comprimida entre las dos parábolas y = x^2y = -x^2. Esta es la razón por la que puede ser diferenciable en a 0 a pesar de la expresión de f'(x) no tiene sentido o incluso tiene un límite de x\to 0.

Como una segunda manera de ver esto, si yo no hubiera extendido el y-eje en la gráfica de arriba, todos veríamos sería un poco de la línea gruesa a lo largo de la x-eje. Lo que significa que cerca del origen, la línea de y = 0 es realmente una buena aproximación a f(x), cerca de x = 0. La existencia de una línea que es una buena aproximación, bajo un cierto estrictamente definido sentido de "buena aproximación" (básicamente, no importa lo mucho que me estirar la y-eje para hacer la aproximación se ven mal, solamente acercar eventualmente hará que se vea bien de nuevo), es la definición de diferenciables, y una noción de que es fácil de generalizar a dimensiones superiores.

Esta función es el estándar de ejemplo que ilustra la diferencia entre una función diferenciable y una función continuamente diferenciable.

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