Cuando usted encuentra que la expresión de la f′(x), la expresión que se utiliza para f(x) no es válido para x=0. Por lo tanto, no hay ninguna razón para esperar que la expresión le de f′(x) a ser válido parax=0.
Para x=0, es mejor recurrir a la definición:
f′(0)=lim
Aquí hay un gráfico de la función f, cerca del origen:
![enter image description here]()
Usted puede ver cómo cada ola oscila violentamente (me he extendido la y-eje de algunos, por lo que es exagerado), pero como un todo, el gráfico se aplana, como es comprimida entre las dos parábolas y = x^2y = -x^2. Esta es la razón por la que puede ser diferenciable en a 0 a pesar de la expresión de f'(x) no tiene sentido o incluso tiene un límite de x\to 0.
Como una segunda manera de ver esto, si yo no hubiera extendido el y-eje en la gráfica de arriba, todos veríamos sería un poco de la línea gruesa a lo largo de la x-eje. Lo que significa que cerca del origen, la línea de y = 0 es realmente una buena aproximación a f(x), cerca de x = 0. La existencia de una línea que es una buena aproximación, bajo un cierto estrictamente definido sentido de "buena aproximación" (básicamente, no importa lo mucho que me estirar la y-eje para hacer la aproximación se ven mal, solamente acercar eventualmente hará que se vea bien de nuevo), es la definición de diferenciables, y una noción de que es fácil de generalizar a dimensiones superiores.
Esta función es el estándar de ejemplo que ilustra la diferencia entre una función diferenciable y una función continuamente diferenciable.